Théorème de Hadwiger

Le théorème de Hadwiger est un théorème de géométrie intégrale (aussi appelée théorie des probabilités géométriques). Il caractérise les valuations sur les volumes convexes dans $\mathbb {R} ^{n}$ . Le théorème a été prouvé par Hugo Hadwiger.

Préliminaires[modifier | modifier le code]

Valuations[modifier | modifier le code]

Soit $K^{n}$ la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans $\mathbb {R} ^{n}$ . Une valuation est une fonction $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ telle que $v(\emptyset )=0$ et

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.

pour tous $S,T\in K^{n}$ tels que $S\cup T\in K^{n}$ .

Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si $v(\phi (S)=v(S)$ pour $S\in K^{n}$ et pour toute fonction $\phi$ qui est une translation ou une rotation de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Intégrales quermass[modifier | modifier le code]

Les intégrales quermass $W_{j}:K^{n}\to \mathbb {R}$ sont définies via la formule de Steiner :

\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,

où $B$ est la boule euclidienne. Par exemple, $W_{0}$ est le volume, $W_{1}$ est proportionnel à la mesure de surface, $W_{n-1}$ est proportionnel à la largeur moyenne et $W_{n}$ est la constante $\mathrm {Vol} _{n}(B)$ . $W_{j}$ est une valuation homogène de degré $n-j$ , c'est-à-dire

W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Hadwiger — Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ qui est invariante par déplacements peut être représentée sous la forme

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ invariante par déplacements et homogène de degré $j$ est un multiple de $W_{n-j}$ .

Notes et références[modifier | modifier le code]

Une description et une preuve du théorème de Hadwiger sont données dans

D. A. Klain et G.-C. Rota, Introduction to geometric probability, Cambridge, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-59362-X, MR 1608265, lire en ligne).

Une autre preuve est donnée par D. A. Klain :

D. A. Klain, « A short proof of Hadwiger's characterization theorem », Mathematika, vol. 42, n^o 2,‎ 1995, p. 329–339 (DOI 10.1112/s0025579300014625, MR 1376731)

Une preuve élémentaire et self-contained a été donnée par Beifang Chen dans

Beifang Chen, « A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem », Geom. Dedicata, vol. 105,‎ 2004, p. 107-120 (DOI 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46, MR 2057247)