Théorème de plongement de Hahn

Le théorème de plongement de Hahn est un énoncé d'algèbre générale. Il caractérise les groupes abéliens totalement ordonnés comme isomorphes à un sous-groupe d'un espace réel muni de l'ordre lexicographique. Il est nommé d'après le mathématicien autrichien Hans Hahn.

Énoncé

Soit G un groupe abélien totalement ordonné. Alors il existe un plongement de G dans le groupe ℝ^Ω muni de l'ordre lexicographique, c'est à dire un isomorphisme croissant de G dans un sous-groupe de ℝ^Ω

On considère ici ℝ en tant que groupe additif des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle, Ω étant l'ensemble des classes d'équivalence archimédiennes de G, et ℝ^Ω l'ensemble des fonctions de Ω dans ℝ dont le support est un ensemble bien ordonné.

On note 0 l'élément neutre de G. Pour tout élément g de G on notera | g | sa valeur absolue, c'est à dire le seul des deux éléments parmi g et -g à être supérieur à 0.

Soient deux éléments non nuls g et h de G. Alors g et h sont dit équivalents archimédiens si il existe deux entiers naturels M et N tels que $N|g|>h$ et $M|h|>g$. Intuitivement, cela signifie que ni g ni h ne sont « infinitésimaux » l'un par rapport à l’autre.

Le groupe G est archimédien si et seulement si tous les éléments non nuls sont équivalents archimédiens. Dans ce cas Ω est un singleton, et G est isomorphe à un sous groupe de (ℝ, +).

Voir aussi

• Groupe archimédien