Théorème de König (théorie des ensembles)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de König.
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Le théorème de König en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius König (1849-1913).

Théorème de König[modifier | modifier le code]

Il se démontre à l'aide de l'axiome du choix (auquel il est en fait équivalent) et s'énonce ainsi :

Théorème — Soient  (a_i)_{i\in I} et  (b_i)_{i\in I} deux familles de cardinaux indexées par un même ensemble I telles que pour tout élément i de I,  a_i < b_i. On a alors :

\qquad \sum_{i\in I} a_i < \prod_{i\in I} b_i .

Corollaire[modifier | modifier le code]

Il s'énonce ainsi :

Corollaire — La puissance du continu n'est pas la somme d'une famille dénombrable de cardinaux strictement plus petits.

Dans le système ZFC (de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), ce théorème est le résultat le plus fin concernant la taille du continu.