Théorème de Darboux (géométrie)

Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension $2n$ sont deux à deux localement symplectomorphes.

Énoncé et démonstration

Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si $(M,\omega )$ est une variété symplectique de dimension $2n$ , alors, au voisinage de tout point de $M$ , il existe des coordonnées locales $(p,q)=(p_{1},...,p_{n},q_{1},...,q_{n})$ de sorte que, dans ces coordonnées, $\omega$ s'exprime comme ceci :

\omega =\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe $C^{2}$ , la courbure.

Démonstration

La question est locale, et on peut fort bien supposer que la variété $M$ est un ouvert $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , étoilé en $0$ , et $\omega$ est une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée avec :

\omega _{0}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q

Par une isotopie, on va déformer $\omega$ en $\omega _{0}$ . Rappelons que toute isotopie ${\Psi _{t}}$ est le flot d'un champ de vecteurs dépendant du temps ${X_{t}}$ .

Posons $\omega _{t}=t\cdot \omega +(1-t)\cdot \mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ .

Raisonnons par condition nécessaire. La formule de Cartan permet de dériver l'identité $\Phi _{t}^{*}\omega _{t}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ :

0=\Phi _{t}^{*}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\omega _{t}+L_{X_{t}}\omega _{t}\right]\Longrightarrow \omega -\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q=-\mathrm {d} \iota _{X_{t}}\omega _{t}

La forme $\omega -\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ est exacte sur l'ouvert étoilé $U$ , et donc s'écrit $\mathrm {d} \alpha$ où $\alpha$ est une 1-forme différentielle. Pour des raisons de non-dégénérescence, il existe un unique champ de vecteurs dépendant du temps ${X_{t}}$ implicitement défini par :

\iota _{X_{t}}\omega _{t}=\alpha

Si ${\Phi _{t}}$ est le flot, alors $\Phi _{1}$ répond à la question.

Remarque : La démonstration est encore incomplète à ce stade !

Aspect semi-local

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que… ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de ℝ^$n$ dans $(M,\omega )$ ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit $r,R>0$ ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) $B^{2n}(r)$ dans un cylindre $B^{2}(R)$ ×ℝ^$2n-2$ implique $r\leq R$ ^[1]. La capacité symplectique d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est donnée par :