Variété symplectique

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En mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique. L'étude des variétés symplectiques relève de la géométrie symplectique. Les variétés symplectiques apparaissent dans les reformulations analytiques abstraites de la mécanique classique utilisant la notion de fibré cotangent d'une variété, notamment dans la reformulation hamiltonnienne, où les configurations d'un système forment une variété dont le fibré cotangent décrit l'espace des phases du système.

Toute fonction à valeurs réelles sur une variété symplectique définit un champ de vecteurs hamiltonien, dont les courbes intégrales (en) sont solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Le champ de vecteurs hamiltonien décrit un difféomorphisme hamiltonien sur la variété symplectique. Par le théorème de Liouville, ce flot hamiltonien préserve la forme volume.

Espace vectoriel symplectique[modifier | modifier le code]

Il y a un modèle standard local, l'espace vectoriel symplectique R2n avec ωi,n+i = 1; ωn+i,i = -1; ωj,k = 0 pour tout i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (kj+n et jk+n). Le théorème de Darboux montre que toute variété symplectique est localement de cette forme.

Forme volume[modifier | modifier le code]

À partir de la définition, on montre que pour toute variété symplectique M de dimension paire, 2n, la forme différentielle ωn ne s'annule jamais. C'est une forme volume, appelée forme volume symplectique. Par suite, toute variété symplectique est canoniquement orientée et reçoit une mesure canonique, appelée mesure de Liouville : ωn / n!.

Sous-variétés lagrangiennes et autres[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs notions géométriques de sous-variétés d'une variété symplectique.

  • On parle de sous-variété symplectique (de toute dimension paire) lorsque la forme symplectique induit une forme symplectique sur la sous-variété.
  • On parle de sous-variété isotrope lorsque la forme symplectique est nulle, donc que chaque espace tangent est un sous-espace isotrope de l'espace tangent de la variété.
  • Si chaque sous-espace tangent d'une sous-variété est coisotrope (ie le dual d'un sous-espace isotrope), la sous-variété est alors appelée coisotrope.
  • On parle en physique de sous-variété lagrangienne pour les sous-variétés isotropes de dimension maximale, ie égale à la moitié de celle de la variété dont elle est issue. Ces sous-variétés apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes physiques, mais aussi géométriques.

Cas particuliers et généralisations[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) McDuff et D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
  • (en) Abraham et Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
  • (en) Alan Weinstein, "Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds", Adv. Math. 6 (1971), 329–346

Voir aussi[modifier | modifier le code]