Variété symplectique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

En mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique. L'étude des variétés symplectiques relève de la géométrie symplectique. Les variétés symplectiques apparaissent dans les reformulations analytiques abstraites de la mécanique classique utilisant la notion de fibré cotangent d'une variété, notamment dans la reformulation hamiltonnienne, où les configurations d'un système forment une variété dont le fibré cotangent décrit l'espace des phases du système.

Toute fonction à valeurs réelles sur une variété symplectique définit un champ de vecteurs hamiltonien, dont les courbes intégrales (en) sont solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Le champ de vecteurs hamiltonien décrit un difféomorphisme hamiltonien sur la variété symplectique. Par le théorème de Liouville, ce flot hamiltonien préserve la forme volume.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit , une variété différentielle de dimension finie. Une forme symplectique sur est une 2-forme différentielle qui est fermée (i.e. ) et non dégénérée (i.e. si est non nul, alors est non nul). Une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme symplectique .

Proposition : Toute variété symplectique est de dimension réelle paire.

Fibre par fibre, la forme symplectique d'une variété symplectique induit une application linéaire bémol :

La propriété de non dégénérescence des formes symplectiques est équivalente à ce que cette dernière application linéaire soit injective. En dimension finie, puisque les fibres du tangent ont la même dimension que celles du cotangent , l'application bémol est non seulement injective mais surjective, ce qui en fait un isomorphisme musical (en) symplectique dont l'inverse est l'isomorphisme musical dièse symplectique

Remarque : il est aussi possible de définir la notion de variété symplectique de dimension infinie (e.g. les espaces de connexions sur une surface lisse fermée orientée[1]). Il faut toutefois distinguer les formes symplectiques faibles (i.e. celles où est injective) de celles fortes (i.e. celles où est un isomorphisme)[2].

Le théorème de Darboux[modifier | modifier le code]

Tout comme il y a un espace vectoriel symplectique standard , il y a une variété symplectique standard, aussi dénoté . Soit la base canonique de . Il lui correspond une base duale canonique définie par les relations

Cette base duale canonique induit un système de coordonnées (globales) tout aussi canonique définie en chaque par :

La forme symplectique canonique sur s'écrit alors explicitement et globalement comme :

Le théorème de Darboux montre que tout point d'une variété symplectique admet un voisinage ouvert muni d'un système de coordonnées locales tel que

Deux preuves différentes du théorème de Darboux se retrouvent en [3] et en [4].

Le théorème de Darboux implique que, contrairement à la géométrie riemannienne où la courbure d'une métrique riemannienne est un invariant local, il n'y a pas d'invariant local en géométrie symplectique.

Fibrés cotangents[modifier | modifier le code]

Un autre exemple typique de variété symplectique est le fibré cotangent d'une variété différentiable. Soit une variété différentiable. Soit son fibré cotangent. Il existe une 1-forme différentielle , dite 1-forme canonique de Liouville, sur définie en tout point et sur tout vecteur par :

La différentielle extérieure est une forme symplectique, dite forme symplectique canonique, sur . En particulier, un système de coordonnées locales sur un ouvert de induit un système de coordonnées locales sur défini en tout point par :

Il est alors possible de démontrer que

Ainsi, localement, la forme symplectique canonique sur un fibré cotangent s'écrit de manière naturelle en coordonnées de Darboux.

Remarques : En physique, la variété joue le rôle d'espace de configuration et son cotangent celui d'espace des phases.

Forme volume[modifier | modifier le code]

Plus haut il a été démontré que tout variété symplectique est de dimension paire . En considérant fois le produit extérieur de la 2-forme symplectique , la variété est alors munie d'une -forme différentielle . Il est alors possible de démontrer, soit en utilisant la définition de soit en utilisant le théorème de Darboux, que cette dernière -forme différentielle est une forme volume sur . Ce faisant, toute variété symplectique est canoniquement orientée et reçoit une mesure canonique appelée mesure de Liouville.

Remarque : la mesure de Liouville est utilisée :

Champ vectoriel hamiltonien et flot hamiltonien[modifier | modifier le code]

Soit une variété symplectique. Soit une fonction lisse (qu'on nommera hamiltonien[5]). À est associé un champ vectoriel hamiltonien défini implicitement par :

ou encore, en termes de musicalité dièse symplectique, par :

Si est un champ vectoriel complet, il lui est associé un groupe à 1-paramètre de difféomorphismes , i.e. un homomorphisme de groupes , nommé flot hamiltonien de .

Remarques :

  • il est aussi possible de définir le champ vectoriel hamiltonien et le flot hamiltonien d'un hamiltonien non autonome (i.e. qui dépend du temps) ;
  • par le théorème de Liouville, la forme volume est préservée par le flot hamiltonien. Mais ce n'est pas tout ! Le flot hamiltonien préserve non seulement la forme volume symplectique mais aussi la forme symplectique . Le flot hamiltonien agit donc sur par symplectomorphismes.

Sous-variétés lagrangiennes et autres[modifier | modifier le code]

Une sous-variété différentielle d'une variété symplectique est dit être une :

Une sous-variété lagrangienne d'une variété symplectique est toujours de dimension la moitié celle de .

Cas particuliers et généralisations[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. M. F. Atiyah et R. Bott, The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces, 1982
  2. A. Kriegl et P. W. Michor, The convenient setting of global analysis, 1997
  3. V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 1989
  4. D. McDuff et D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, 2017
  5. ou encore huyghensien pour les intimes. Voir : P. Iglesias, Symétries et Moments, p. 158-159

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en) McDuff et D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998), Oxford Mathematical Monographs, (ISBN 0-19-850451-9).
  • (en) Abraham et Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics (1978), Benjamin-Cummings, London, (ISBN 0-8053-0102-X)
  • (en) Alan Weinstein, « Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds », Adv. Math. 6 (1971), 329–346