Théorème de Darboux (géométrie)

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Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension sont deux à deux localement symplectomorphes.

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le code]

Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si est une variété symplectique de dimension , alors, au voisinage de tout point de , il existe des coordonnées locales de sorte que, dans ces coordonnées, s'exprime comme ceci :

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe , la courbure.

Aspect semi-local[modifier | modifier le code]

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que… ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de ℝ dans  ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit  ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) dans un cylindre ×ℝ implique [1]. La capacité symplectique d'une variété symplectique est donnée par :

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon (de), Introduction to Symplectic Topology [détail des éditions], p. 372.

Voir aussi[modifier | modifier le code]