En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygone régulier et la distance de ce point au centre du polygone.
Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques.
On considère un cercle de centre O et de rayon r et un entier naturel non nul n. On découpe le cercle en 2n parties égales à l'aide des points et on considère un point M situé sur la demi-droite [OA0) alors
Par exemple, pour n=2, ces égalités donnent, pour la première égalité, un cas particulier de la puissance d'un point par rapport à un cercle et pour la seconde égalité le théorème de Pythagore.
Le théorème est énoncé par Roger Cotes en 1716 et découvert par son cousin Robert Smith dans ses papiers après sa mort[1]. Le but de Cotes était de factoriser des polynômes de la forme xn - rn ou xn + rn de manière à pouvoir décomposer des fonctions rationnelles en éléments simples et ainsi les intégrer plus facilement[2]. En effet, en notant x la distance OM, grâce à l'axe de symétrie (OA0) et en utilisant le théorème d'Al-Kashi, les deux formules conduisent aux formes suivantes :
si
si
si
si
Une première démonstration par Henry Pemberton(en) en 1722 utilise le développement en série de sin(nθ) et cos(nθ)[3]. Abraham De Moivre en fait une nouvelle démonstration en 1730 en utilisant les complexes et sa formule
Il en généralise la formule permettant ainsi une factorisation de x2n-2Lxn+1[4]. De telles propriétés sont de fait parfois appelées propriétés de Cotes-De Moivre sur le cercle[5].
En 1797, John Brinkley en fait une démonstration n'utilisant pas les complexes[6]
Démonstration sans les complexes - principe de la méthode[1]
On peut, sans perte de généralité, supposer que le cercle est de rayon 1. En élevant au carré le produit des distances et en nommant x la distance OM, il s'agit de démontrer, pour la première formule, que
Les sont donc les n racines du polynôme Tn(X) - 1[7]. On a donc l'égalité
Il s'agit donc de prouver que
Ce qui se fait aisément, par exemple par récurrence, sachant que
En 1797 et 1806, de manière indépendante, Caspar Wessel et Jean-Robert Argand mettent en place une interprétation géométrique des complexes. La démonstration de ce théorème en est alors simplifiée. Wessel[8] en propose une démonstration simple et Argand une généralisation proche de celle de De Moivre[9].
Démonstration et généralisation du théorème de Cotes grâce aux affixes
On se contente de découper le cercle en n parties égales, obtenant ainsi les points Bk d'affixes . Le point M d'affixe z est choisi quelconque dans le plan complexe. La distance MBk correspond au module de . On a ainsi
Or donc les sont les n racines du polynôme zn-rn. On a alors
Si le point M est d'affixe réelle positive, on obtient la première égalité du théorème de Cotes. Si le point M a pour affixe , on obtient la seconde égalité du théorème de Cotes. Enfin si r=1 et , en élevant au carré l'égalité on obtient, grâce au théorème d'Al-Kashi
Le théorème de Cotes permet également de démontrer des égalités trigonométriques[10],[11].
Ralph Griffiths, The monthly review, vol. 36, (lire en ligne)
Lhuillier, « Sur la décomposition en facteurs premiers de la somme et de la différence de deux puissances à exposants quelconques etc. », dans Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres, (lire en ligne)
Jean Robert Argand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques., (lire en ligne)