Théorème de Bruck-Ryser-Chowla

Le théorème de Bruck-Ryser-Chowla est un énoncé combinatoire concernant certains plans en blocs qui formule des conditions nécessaires pour leur existence.

Le théorème a été démontré en 1949 dans le cas particulier des plans projectifs par Richard H. Bruck et Herbert John Ryser^[1] et généralisé en 1950 aux plans en blocs par Ryser et Sarvadaman Chowla^[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Bruck-Ryser-Chowla — S'il existe un plan en blocs symétrique de paramètres $(v,k,\lambda )$ , alors

si $v$ est pair, le nombre $k-\lambda$ est un carré parfait ;
si $v$ est impair, l'équation diophantienne $x^{2}=(k-\lambda )y^{2}+(-1)^{(v-1)/2}\lambda z^{2}$ possède une solution non nulle $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ .

Version faible : théorème de Bruck-Ryser[modifier | modifier le code]

Dans le cas des plans projectifs finis, on a $v=q^{2}+q+1,k=q+1,\lambda =1$ , et le théorème se formule comme suit :

Théorème de Bruck-Ryser — S'il existe un plan projectif d'ordre $q$ pour $q\equiv 1{\bmod {4}}$ ou $q\equiv 2{\bmod {4}}$ , alors $q$ est la somme de deux carrés (éventuellement nuls).

Un plan projectif fini d'ordre $q$ est le cas particulier d'un plan en blocs symétrique avec les paramètres

v=q^{2}+q+1,k=q+1,\lambda =1

.

Conséquences et exemples[modifier | modifier le code]

La condition arithmétique du théorème de Bruck-Ryser implique qu'il n'existe pas de plan d'ordre 6 ou 14, mais il n'exclut pas l'existence de plans d'ordre $10=2^{4}+2=3^{2}+1^{2}$ ni d'ordre $12\equiv 0{\bmod {4}}$ . On a démontré par des calculs numériques intensifs qu'il n'existe pas de plan projectif d'ordre 10^[3]^,^[4] ; ceci illustre le fait que les conditions du théorème ne sont pas suffisantes pour assurer l'existence de plans en blocs.
Les ordres $q=5=4+1,9=9+0,13=9+4$ satisfont les conditions pour l'existence de plans projectifs. Un autre argument qui assure leur existence est que ce sont des puissances de nombres premiers.
Pour $q=27\equiv 3{\bmod {4}}$ , le théorème ne dit rien. Comme 27 est une puissance d'un nombre premier, il existe un plan projectif de cet ordre.

Ordres exclus[modifier | modifier le code]

Les nombres qui, par le théorème de Bruck et Ryser ne peuvent pas être les ordres d'un plan projectif, sont les entiers $n\in \mathbb {N}$ avec $n\equiv 1,2{\bmod {4}}$ qui ne sont pas somme de deux carrés. ils forment la suite A046712 de l'OEIS : 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, ...

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles

Richard H. Bruck et Herbert John Ryser, « The nonexistence of certain finite projective planes », Canadian Journal of Mathematics, Canadian Mathematical Society, vol. 1,‎ 1949, p. 88–93 (DOI 10.4153/CJM-1949-009-2, lire en ligne)
Sarvadaman Chowla et Herbert John Ryser, « Combinatorial problems », Canadian Journal of Mathematics, Canadian Mathematical Society, vol. 2,‎ 1950, p. 93–99
(en) Clement W. H. Lam, « The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 », The American Mathematical Monthly, vol. 98, n^o 4,‎ 1991, p. 305–318 (lire en ligne).

Roger Guérin, « Vue d'ensemble sur les plans en blocs incomplets équilibrés et partiellement équilibrés », Revue de l'Institut International de Statistique, vol. 33, n^o 1,‎ 1965, p. 24-58 (JSTOR https://www.jstor.org/stable/1401306, MR 180497, zbMATH 137.37404).
Bernard Monjardet, « Combinatoire et algèbre », Mathématiques et sciences humaines, t. 23,‎ 1968, p. 37-50 (lire en ligne, consulté le 20 décembre 2017).

Manuels

Jeffrey H. Dinitz et Douglas Robert Stinson, chap. 1 « A Brief Introduction to Design Theory », dans Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys, New York, Wiley, 1992 (ISBN 0-471-53141-3), p. 1–12
Jacobus van Lint et Richard M. Wilson, A Course in Combinatorics, Cambridge, Cambridge University Press, 2001, 2^e éd. (ISBN 0-521-80340-3)
(en) Jiří Matoušek et Jaroslav Nešetřil, Invitation to Discrete Mathematics, New York, Oxford University Press, 1998, 410 p. (ISBN 978-0-19-850207-4) — Traduit en français par Delphine Hachez : Introduction aux mathématiques discrètes, Springer-Verlag, 2004, (ISBN 978-2-287-20010-6).
(de) Albrecht Beutelspacher, Einführung in die endliche Geometrie I, Mannheim, BI Wissenschaftséditeur, 1983, 2^e éd., 176–185 p. (ISBN 3-411-01632-9)

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Bruck-Ryser-Chowla » (voir la liste des auteurs).