Théorème d'Euler (arithmétique)

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En mathématiques, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire a été publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1].

Théorème d'Euler — Soit n un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors

φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat : ce dernier ne traite que le cas où n est un nombre premier). Sachant que φ(n) est l'ordre du groupe multiplicatif (ℤ/nℤ)×, il est lui-même un cas particulier du théorème de Lagrange sur les groupes (comme on peut le voir dans la démonstration ci-dessus).

Le plus petit exposant entier k strictement positif vérifiant que, pour tout entier a premier avec n, ak ≡ 1 (mod n), est donné par la fonction indicatrice de Carmichael λ, et λ(n) est un diviseur de φ(n) qui peut être strict, d'où un autre renforcement du théorème d'Euler.

Ce théorème permet la réduction modulo n de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. Le théorème d'Euler nous indique donc que On en déduit que Le chiffre recherché est donc 9.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Présenté à l'Académie de Berlin le 13 février 1755, puis publié par l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg sous le titre « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », dans Novi Comment. acad. sc. Petrop., vol. 7, 1761, p. 49-82. L'original en latin est disponible en ligne sur le site du Dartmouth College sous le numéro E262. Traduction en anglais : Texte en accès libre sur arXiv : math/0608467.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Ordre multiplicatif