Théorème d'Euler (arithmétique)

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En mathématiques, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1], s'énonce ainsi :

Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n),

φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat, qui ne traite que le cas où n est un nombre premier.

Il signifie que l'exposant λ(n) (appelé l'indicatrice de Carmichael de n) du groupe des inversibles de l'anneau ℤ/nℤ est un diviseur de l'ordre φ(n) de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).

Il permet la réduction modulo n de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. Le théorème d'Euler nous indique donc que On en déduit que Le chiffre recherché est donc 9.

Note[modifier | modifier le code]

  1. (la) L. Euler, « Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata », Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop., vol. 8,‎ , p. 74-104 (lire en ligne) (E271, écrit en 1758 et présenté en 1760).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Ordre multiplicatif