Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Euler.
L'identité d'Euler citée ici ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler liant des constantes fondamentales.

Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝn et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : Cm différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée :

[1].

Généralisation[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux K -espaces vectoriels normés ( ou ), un cône de et k un élément de K.

Une fonction différentiable est positivement homogène de degré si et seulement si :

[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration dans le cas particulier (dont le cas général se déduit en raisonnant composante par composante), voir par exemple Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, PPUR, (lire en ligne), p. 301-302.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Daron Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth (lire en ligne), chap. 2, p. 29 — Ce manuel n'énonce et ne démontre, sous l'intitulé « Euler's theorem », que le sens « facile » du théorème ci-dessus (le « seulement si »), et seulement pour , mais ajoute que les dérivées partielles de sont alors positivement homogènes de degré .

Lien externe[modifier | modifier le code]

« 4 Fonctions homogènes » (version du 26 septembre 2007 sur l'Internet Archive) : cours en ligne sur les fonctions homogènes