Théorème d'Euler (fonctions homogènes)

Le théorème d'Euler, tirant son nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, lie les fonctions homogènes à leurs dérivées partielles.

Il est souvent utilisé en thermodynamique et en économie.

Énoncé et démonstration

Énoncé

Soit $C$ un sous-ensemble non vide de $\mathbb {R} ^{n}$ tel que si $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in C$ et $t\in \,]0,+\infty [$, alors $tx=\left(tx_{1},\ldots ,tx_{n}\right)\in C$ ($C$ est un cône positif). Soit $k$ un réel.

Par définition, une fonction de plusieurs variables $f$ est dite positivement homogène de degré $k$ si :

$\forall t\in \,\mathbb {R} ^{+,*},\quad \forall x\in C,\qquad f\!\left(tx\right)=t^{k}f\!\left(x\right)$

Le théorème d'Euler s'énonce comme suit :

Une fonction de plusieurs variables $f:C\to \mathbb {R}$ différentiable en tout point est positivement homogène de degré $k$ si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée :

$\forall x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in C,\quad \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f'_{x_{i}}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$

où ${\partial f \over \partial x_{i}}=f'_{x_{i}}$ est la dérivée partielle de la fonction $f$ par rapport à la variable $x_{i}$.

Remarque : l'identité d'Euler peut être vue comme une équation aux dérivées partielles, et le théorème d'Euler, le fait que ses solutions sont les fonctions $k$-positivement homogènes.

Exemples

• Soit la fonction $f$ définie, pour $(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$, par :

${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} ^{2}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x=\left(x_{1},x_{2}\right)&\longmapsto &f\!\left(x\right)=a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\end{matrix}}$

Cette fonction est homogène de degré 2 puisque, $\forall t\in \mathbb {R} ^{+}$ :

${\begin{aligned}f\!\left(tx\right)&=a\,\left(tx_{1}\right)^{2}+b\,\left(tx_{2}\right)^{2}+c\,\left(tx_{1}\right)\left(tx_{2}\right)\\&=t^{2}\,\left(a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\right)\\&=t^{2}\,f\!\left(x\right)\end{aligned}}$

On a les dérivées partielles :

${\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)=2a\,x_{1}+c\,x_{2}$

${\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)=2b\,x_{2}+c\,x_{1}$

On vérifie l'identité d'Euler :

${\begin{aligned}x_{1}{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)+x_{2}{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)&=x_{1}\,\left(2a\,x_{1}+c\,x_{2}\right)+x_{2}\,\left(2b\,x_{2}+c\,x_{1}\right)\\&=2\,\left(a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\right)\\&=2\,f\!\left(x\right)\end{aligned}}$

• Plus généralement, toute fonction polynomiale homogène vérifie l’identité d'Euler, voir infra, et par conséquent aussi toute fonction rationnelle quotient de fonctions polynomiales homogènes ; par exemple :

$f:\left(x,y,z\right)\mapsto {\frac {x^{4}+xyz^{2}}{x^{5}+yz^{4}}}$

vérifie :

$xf'_{x}+yf'_{y}+zf'_{z}=(4-5)\,f=-f$

• La fonction $f:\left(x,y\right)\mapsto x\,\ln \!\left(y/x\right)$ est 1-positivement homogène sur $]0,+\infty [^{2}$, car la fonction $\left(x,y\right)\mapsto y/x$ est 0-positivement homogène, donc également la fonction $\left(x,y\right)\mapsto \ln \!\left(y/x\right)$, et la fonction $\left(x,y\right)\mapsto x$ est 1-homogène. La fonction $f$ vérifie donc :

$xf'_{x}+yf'_{y}=f$

Démonstration

Démonstration.

• Définitions et résultats intermédiaires.

Soit $C$ un sous-ensemble non vide de $\mathbb {R} ^{n}$ tel que si $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in C$ et $t\in \,\mathbb {R} ^{+,*}$, alors $tx=\left(tx_{1},\ldots ,tx_{n}\right)\in C$ ($C$ est un cône positif) et $f:C\to \mathbb {R}$ une fonction différentiable en tout point.

On fixe un vecteur $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in C$ et on définit sur $\mathbb {R} ^{+,*}$ une fonction $g$ de variable réelle $t$ et telle que $g\!\left(t\right)=f\!\left(tx\right)=f\!\left(tx_{1},\ldots ,tx_{n}\right)$.

Le théorème de dérivation des fonctions composées donne :

${\mathrm {d} g \over \mathrm {d} t}\!\left(t\right)=\sum _{i=1}^{n}{\partial (tx_{i}) \over \partial t}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)$

• Proposition à démontrer : si $f$ est une fonction positivement homogène de degré $k$, alors $\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$.

Si $f:C\to \mathbb {R}$ est une fonction positivement homogène de degré $k$ ($k\in \mathbb {R}$), alors :

$\forall t\in \mathbb {R} ^{+,*},\,\forall x\in C,\,g\!\left(t\right)=f\!\left(tx\right)=t^{k}\,f\!\left(x\right)$

Par conséquent :

${\mathrm {d} g \over \mathrm {d} t}\!\left(t\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=k\,t^{k-1}\,f\!\left(x\right)$

Avec $t=1$ on obtient finalement que, si $f$ est une fonction positivement homogène de degré $k$, alors :

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$

• Proposition à démontrer : réciproquement, si $\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$, alors $f$ est une fonction positivement homogène de degré $k$.

On suppose que $\exists k\in \mathbb {R}$, $\forall x\in C$ :

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$

On a $\forall t\in \mathbb {R} ^{+,*}$ :

$\sum _{i=1}^{n}tx_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=k\,f\!\left(tx\right)$

ce qui revient à :

$t\,{\mathrm {d} g \over \mathrm {d} t}\!\left(t\right)=k\,g\!\left(t\right)$

Cette équation différentielle linéaire d'ordre 1 a pour solution toute fonction de la forme :

$g\!\left(t\right)=t^{k}\,g\!\left(1\right)$

On obtient finalement que, si $\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$, alors $f\!\left(tx\right)=t^{k}\,f\!\left(x\right)$, c'est-à-dire $f$ est une fonction positivement homogène de degré $k$.

Extensions et variantes

Généralisation à des ordres de dérivation supérieurs

Les dérivées partielles d'une fonction positivement homogène de degré $k$ étant positivement homogènes de degré $k-1$, on a la relation, pour $f$ deux fois différentiable :

$\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{j}f''_{x_{i}x_{j}}\!\left(x\right)=k(k-1)f\!\left(x\right)$

Et à l'ordre $p$, pour $f$ $p$ fois différentiable :

$\sum _{1\leqslant i_{1},\dots ,i_{p}\leqslant n}x_{i_{1}}\dots x_{i_{p}}f_{x_{i_{1}}\dots x_{i_{p}}}^{(p)}\!\left(x\right)=k(k-1)\cdots (k-p+1)f\!\left(x\right)$

Compte tenu du théorème de Schwarz, on obtient pour $f$ de classe $C^{p}$ :

$\sum _{i_{1}+\dots +i_{n}=p}{\binom {p}{i_{1},\dots ,i_{n}}}{x_{1}}^{i_{1}}\dots {x_{n}}^{i_{n}}f_{{x_{1}}^{i_{1}}\dots {x_{n}}^{i_{n}}}^{(p)}\!\left(x\right)=k(k-1)\cdots (k-p+1)f\!\left(x\right)$

où ${p \choose i_{1},\dots ,i_{n}}={\frac {p!}{i_{1}!\dots i_{n}!}}$ est un coefficient multinomial.

Extension à des espaces vectoriels normés quelconques

Soit la différentielle de la fonction $f$ :

$\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\partial f \over \partial x_{i}}\,\mathrm {d} x_{i}$

Cette différentielle, calculée en un point $a$ et appliquée sur un vecteur $h=\left(h_{1},\dots ,h_{n}\right)$, prend la valeur :

$\mathrm {d} f_{a}\!\left(h\right)=\sum _{i=1}^{n}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(a\right)\,h_{i}$

Pour obtenir le premier membre de l'identité d'Euler, on calcule la différentielle au point $a=x$ et on l'applique sur le vecteur $h=x$ lui-même :

$\mathrm {d} f_{x}\!\left(x\right)=\sum _{i=1}^{n}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)\,x_{i}$

On note également $\mathrm {d} f_{x}\!\left(x\right)=f'\!\left(x\right)\cdot x$.

Ainsi, $x$ joue un double rôle, d'abord comme point où l'on calcule la différentielle, puis comme vecteur sur lequel on applique cette différentielle. Avec la notation différentielle, l'identité d'Euler s'écrit sous une forme purement vectorielle, sans avoir besoin de faire apparaitre les composantes de $x$ :

$\mathrm {d} f_{x}\!\left(x\right)=k\,f(x)$

De plus, on remarque que l'expression précédente est valide dans tout espace vectoriel normé, de dimension finie ou non, indépendamment de toute base, ce qui conduit au théorème suivant :

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb {R}$-espaces vectoriels normés, $C$ un cône positif ouvert de $E$ et $k$ un réel. Une fonction différentiable $f:C\to F$ est positivement homogène de degré $k$ si et seulement si elle vérifie l'identité d'Euler :

$\forall x\in C\quad \mathrm {d} f_{x}\!\left(x\right)=k\,f\!\left(x\right)$

Démonstration.

Il suffit de constater l'équivalence entre les affirmations suivantes :

• $f$ est positivement homogène de degré $k$.
• Pour tout $x\in C$, la fonction $\left]0,+\infty \right[\to F,\,t\mapsto t^{-k}f\!\left(tx\right)$ est constante ; la valeur de la constante est nécessairement $f\!\left(x\right)$, obtenu pour $t=1$.
• Pour tout $x\in C$, la différentielle de la fonction $\left]0,+\infty \right[\to F,\,t\mapsto t^{-k}f\!\left(tx\right)$ est identiquement nulle.
• Pour tout $x\in C$ et tout $t>0$, $-kt^{-k-1}f\!\left(tx\right)+t^{-k}\,\mathrm {d} f_{tx}\!\left(x\right)=0$.
• Pour tout $x\in C$ et tout $t>0$, $-kf\!\left(tx\right)+\mathrm {d} f_{tx}\!\left(tx\right)=0$, en multipliant par $t^{k+1}$ et en utilisant la linéarité de la différentielle : $t\,\mathrm {d} f_{tx}\!\left(x\right)=\mathrm {d} f_{tx}\!\left(tx\right)$.
• Pour tout $y\in C$, $\mathrm {d} f_{y}\!\left(y\right)=kf\!\left(y\right)$, en posant $y=tx$.

Version polynomiale

Soit $K$ un corps commutatif de caractéristique nulle et $P$ un polynôme de $K[X_{1},X_{2},\cdots ,X_{m}]$ ; alors $P$ est un polynôme homogène de degré total $n$ si et seulement si l'une des conditions suivantes est réalisée :

1. $P$ est somme de monômes de degré total $n$.
2. Pour tout $k\in K$, $P\!\left(kX_{1},\dots ,kX_{m}\right)=k^{n}P\!\left(X_{1},\dots ,X_{m}\right)$.
3. $P$ vérifie l'identité d'Euler : $X_{1}P'_{X_{1}}+\cdots +X_{m}P'_{X_{m}}=nP$.

Note : les implications $1.\Rightarrow 2.$ et $2.\Rightarrow 3.$ sont vraies dans un corps commutatif quelconque.

L'extension aux dérivées d'ordre $p$ vue supra s'écrit alors :

$\sum _{i_{1}+\dots +i_{n}=p}{\frac {{X_{1}}^{i_{1}}\dots {X_{n}}^{i_{n}}}{i_{1}!\dots i_{n}!}}P_{{X_{1}}^{i_{1}}\dots {X_{n}}^{i_{n}}}^{(p)}={k \choose p}P$

Applications

En thermodynamique

En thermodynamique, le théorème d'Euler permet notamment de lier l'enthalpie libre $G$ d'un mélange aux potentiels chimiques $\mu _{i}$ des constituants $i$ de ce mélange. Soit $n_{i}$ la quantité du constituant $i$ et $\lambda$ un nombre réel positif quelconque, par lequel on multiplie toutes les quantités $n_{i}$. L'enthalpie libre est une fonction extensive, c'est-à-dire qu'à pression $P$ et température $T$ données, elle est proportionnelle à la quantité de matière : l'enthalpie libre finale est donc égale à $\lambda$ fois l'enthalpie libre initiale, d'où :

$G\!\left(P,T,\lambda \,n_{1},\lambda \,n_{2},\cdots \right)=\lambda \,G\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)$

À pression et température données, si l'on double les quantités de tous les constituants, l'enthalpie libre est doublée ; inversement, si l'on divise par deux ces quantités, l'enthalpie libre est divisée par deux. En termes mathématiques, la fonction $G$, à pression et température données, est homogène de degré 1 par rapport aux quantités des constituants. On définit les dérivées partielles ${\bar {G}}_{i}$ à pression et température constantes, appelées enthalpies libres molaires partielles :

${\bar {G}}_{i}=\left({\partial G \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{\neq i}}$

Ces enthalpies libres molaires partielles sont les potentiels chimiques $\mu _{i}$ des constituants :

$\mu _{i}\equiv {\bar {G}}_{i}$

Le théorème d'Euler permet d'écrire :

$G=\sum _{i}n_{i}\,{\bar {G}}_{i}=\sum _{i}n_{i}\,\mu _{i}$

Cette relation est généralisable à toute autre fonction thermodynamique extensive, notamment aux autres potentiels thermodynamiques $U$, $F$ et $H$, à l'entropie $S$ et au volume $V$. Pour les potentiels thermodynamiques on a :

• énergie interne $U=G-PV+TS$ :

$U\!\left(\lambda \,V,\lambda \,S,\lambda \,n_{1},\lambda \,n_{2},\cdots \right)=\lambda \,U\!\left(V,S,n_{1},n_{2},\cdots \right)$

$\left({\partial U \over \partial V}\right)_{S,n}=-P$, $\left({\partial U \over \partial S}\right)_{V,n}=T$, $\left({\partial U \over \partial n_{i}}\right)_{V,S,n_{\neq i}}=\mu _{i}$

$U=-PV+TS+\sum _{i}n_{i}\,\mu _{i}$

• énergie libre $F=G-PV$ :

$F\!\left(\lambda \,V,T,\lambda \,n_{1},\lambda \,n_{2},\cdots \right)=\lambda \,F\!\left(V,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)$

$\left({\partial F \over \partial V}\right)_{T,n}=-P$, $\left({\partial F \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{\neq i}}=\mu _{i}$

$F=-PV+\sum _{i}n_{i}\,\mu _{i}$

• enthalpie $H=G+TS$ :

$H\!\left(P,\lambda \,S,\lambda \,n_{1},\lambda \,n_{2},\cdots \right)=\lambda \,H\!\left(P,S,n_{1},n_{2},\cdots \right)$

$\left({\partial H \over \partial S}\right)_{P,n}=T$, $\left({\partial H \over \partial n_{i}}\right)_{P,S,n_{\neq i}}=\mu _{i}$

$H=TS+\sum _{i}n_{i}\,\mu _{i}$

En économie

En économie, une fonction de production est généralement homogène, telle la fonction de Cobb-Douglas, très utilisée. Ces fonctions sont étudiées en appliquant le théorème d'Euler.

Voir aussi

Liens externes

• Leçon 02 - Cours : Fonctions à plusieurs variables [PDF] (cours L2 université Paris-Saclay).

Articles connexes

• Fonction homogène