Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

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L'identité d'Euler citée ici ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler liant des constantes fondamentales.

Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝⁿ et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : C → ℝ^m différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée :

$\forall x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C,\quad \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)=kf(x)$.

Généralisation

Soient E et F deux K -espaces vectoriels normés ($K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$), $C$ un cône de $E$ et k un élément de K.

Une fonction différentiable $f:C\to F$ est positivement homogène de degré $k$ si et seulement si :

$\forall x\in C\quad \mathrm {d} f_{x}(x)=kf(x)$.

Voir aussi

Lien externe

Leçon 02 - Cours : Fonctions à plusieurs variables (cours L2 université Paris-Saclay)

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