Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

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Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝn et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : Cm différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée :

[1].

Généralisation[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux K -espaces vectoriels normés ( ou ), un cône de et k un élément de K.

Une fonction différentiable est positivement homogène de degré si et seulement si :

[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration dans le cas particulier (dont le cas général se déduit en raisonnant composante par composante), voir par exemple Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, PPUR, (lire en ligne), p. 301-302.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Daron Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth (lire en ligne), chap. 2, p. 29 — Ce manuel n'énonce et ne démontre, sous l'intitulé Euler's theorem, que le sens « facile » du théorème ci-dessus (le « seulement si »), et seulement pour , mais ajoute que les dérivées partielles de sont alors positivement homogènes de degré .

Lien externe[modifier | modifier le code]

« 4 Fonctions homogènes » (version du 26 septembre 2007 sur l'Internet Archive) : cours en ligne sur les fonctions homogènes