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En théorie des probabilités, en particulier dans l'étude des processus stochastiques, un temps d'arrêt (également appelé temps d'arrêt optionnel, et correspondant à un temps de Markov ou moment de Markov défini[1]) est une variable aléatoire dont la valeur est interprétée comme le moment auquel le comportement d'un processus stochastique donné présente un certain intérêt. Un temps d'arrêt est souvent défini par une règle d'arrêt, un mécanisme permettant de décider de poursuivre ou d'arrêter un processus sur la base de la position actuelle et des événements passés[2].
Ce temps d'arrêt peut être par exemple le moment où un processus stochastique prend fin, ou, dans un processus de Poisson et autres processus de Lévy à accroissements indépendants stationnaires, le moment d'un « saut » incrémental[2].
Les temps d'arrêt jouent un rôle important dans la théorie de la décision, et dans les martingales, sont régis par le théorème d'arrêt de Doob (ou théorème d'arrêt optionnel)[2].
Imaginons que désigne ici la tribu engendrée par la suite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et seulement s'il existe tel que
Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que :
L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.
Notations
Soient une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration. Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté et est défini par
Sur l'ensemble la définition de est problématique : l'ambigüité est de facto levée en posant
Soit un temps d'arrêt et soit
est la variable aléatoire définie par
est la variable aléatoire définie par .
Propriétés
Propriété — Soit un temps d'arrêt, soit . Alors et sont des temps d'arrêt.
Démonstration
On ne démontrera que le premier point, les deux autres étant semblables :
Or
Propriété — De même, si sont des temps d'arrêt, alors en est un.
Définition et propriété — Soit un temps d'arrêt et est appelé évènement antérieur à si:
L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de appelée tribu antérieure à et notée
Démonstration
contient
est stable par réunion dénombrable
Soit . On a D'où
,
et est stable par complémentarité.
Proposition — Soient et deux temps d'arrêt tels que p.s.. On a alors .
Démonstration
Soit , c’est-à-dire . Comme de plus p.s., . Par suite,
Or et car est un temps d'arrêt. Donc
Lemme — Soit une variable aléatoire -mesurable. est -mesurable ssi est -mesurable.
Démonstration
:
est -mesurable.
avec
Or
Donc
Finalement est -mesurable.
:
avec de plus . D'où (d'après la définition de ). Donc est -mesurable.
Proposition — est -mesurable.
Démonstration
avec qui sont -mesurable, d'où est -mesurable. D'après le lemme précédent, est -mesurable.
Exemples et contrexemples
Considérons une suite de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble et notons la tribu engendrée par la suite Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration :
Soit un élément de ; on appelle instant de premier retour en et on note la variable aléatoire définie ci-dessous :
De même pour une partie de on appelle instant de première entrée dans et on note la variable aléatoire ci-dessous définie :
L'instant de -ème retour en noté et défini par récurrence par :
ou encore l'instant de -ème entrée dans sont des t.a..
Pour et dans on pose On peut montrer que n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, est un temps d'arrêt.
Références
↑ a et b(en) Michiel Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science & Business Media, (ISBN978-94-009-5991-0, lire en ligne), p. 100, 110.