Théorème d'arrêt de Doob

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Le théorème d'arrêt de Doob est un résultat important en théorie des probabilités : il permet, par exemple, d'obtenir des renseignements, parfois explicites, sur la loi des temps d'atteinte. Le théorème d'arrêt de Doob est dû à Joseph Leo Doob.

Énoncé[modifier | modifier le code]

On considère un processus stochastique

Théorème —  (a) Supposons que X est une surmartingale, et que T est un temps d'arrêt. Alors, dès que l'un des 3 ensembles d'hypothèses ci-dessous est satisfait :

(i) T est borné (i.e. il existe un entier N tel que, pour tout ω, ) ;
(ii) X est borné (i.e. il existe un réel K tel que, pour tout n et ω, ) et, de plus, T est presque sûrement fini;
(iii) T est intégrable, et il existe un réel K tel que pour tout n et ω,
il suit que XT est intégrable, et que

(b) Si n'importe lequel parmi les 3 ensembles de conditions (i) ... (iii) est satisfait et si X est une martingale, alors

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) David Williams, Probability with martingales, Cambridge, Cambridge University Press, , 1e éd., 266 p. (ISBN 052140455X), p. 100.