Discussion:Quasigroupe

Quelque chose me chagrine :

un quasigroupe est défini ici comme un magma $(Q,*)$ véfifiant $\forall (a,b)\in Q^{2},((\exists !x\in Q,a*x=b)et(\exists !y\in Q,y*a=b))$

or il me semble pouvoir démontrer avec cela qu'un quasigroupe admet un neutre :

$\exists e\in Q,\forall x\in Q,x*e=e*x=x$

en effet :

soit $a\in Q$, et $x\in Q$ l'unique élément tel que $a*x=a$ . Soit ensuite $b\in Q$, comme on a $a*x*b=a*b$ et donc par unicité $x*b=b$ et ceci pour $b\in Q$ quelconque. $x$ est donc neutre à gauche, et on montre aisément de même qu'il est neutre à droite...

Ou est mon erreur ? Car erreur de débutant il y a ...

--Pdm 24 jan 2005 à 21:22 (CET)

Réponse : d'abord une remarque en passant : ce n'est pas par « unicité », mais par régularité de * qu'il est possible de simplifier par a, dans le raisonnement ci-dessus.

Ensuite, l'erreur réside dans ce que l'écriture « a * x * b » suppose la loi associative, ce qui n'est justement pas le cas! Il faut écrire « ( a * x ) * b = a * b », et, comme la loi * n'est pas supposée associative, on ne peut pas en déduire « a * ( x * b ) = a * b » et, de là, simplifier par a.

Il n'y a donc pas obligatoirement d'élément neutre.

194.214.213.67 17 mar 2005 à 15:54 (CET)

Nettoyage

Il parait utile d'éliminer de cet article le mot "symogène" qui est, selon toute vraisemblance, un néologisme local (voir discussion:Loi de composition interne, Projet:Mathématiques/Le_Thé#Qualificatif_pour_un_magma_dont_l.27ensemble_ne_comprends_que_des_.C3.A9l.C3.A9ments_sym.C3.A9trisables). Je vais en faire au moins un bout, mais je ne connais rien aux quasi-groupes (l'article a l'air assez limité ceci-dit), donc si quelqu'un de plus savant passe par là ... Proz (d) 24 mars 2011 à 18:46 (CET)

Traduction

Il vaudrait probablement mieux que l'article soit une traduction de en:, mais dans l'état ça ne me semble pas évident. Proz (d) 25 mars 2011 à 20:10 (CET)

Ce bandeau (qui n'explicite pas que les 2 articles ont évolué indépendamment depuis, mais probablement pour rester discret) tient lieu de crédit (obligatoire) d'auteurs : l'article a été créé par traduction (cf historique), et le bandeau lie vers la version anglaise de l'époque. Anne Bauval (d) 25 mars 2011 à 21:26 (CET)

ok, je n'ai pas regardé l'historique, il a, en apparence, mieux évolué du côé en . Proz (d) 26 mars 2011 à 00:35 (CET)

Questions

Bonjour,

Désolée si mon code n'est pas correct, je ne connais pas encore les normes. Si je comprends bien il suffit que la loi soit associative pour que le neutre existe. J'avoue ne pas encore avoir pris le temps de bien tout regarder, mais à ce moment-là, est-il unique ? Et qu'en est-il pour l'inverse qui doit être le même à gauche et à droite et aussi unique ? Je suis entre deux cours donc je n'ai pas vraiment réfléchie, donc ma question est peut-être bête, veuillez m'en pardonner.

Merci Ccile13, 21/11/13 à 10h12‎

Bonjour, j'ai un peu retouché l'article, j'espère que ça répond à toutes vos questions. Anne (discuter) 21 novembre 2013 à 20:58 (CET)

Ajout de la démonstration de quasigroupe associatif => groupe

Bonjour,
Je ne suis pas un spécialiste, mais je pense que la propriété "un quasigroupe associatif est un groupe" indiquée dans l'introduction est importante. Je suppose donc qu'il pourrait être intéressant de la répéter dans la section "principales propriétés" avec la démonstration.
La démonstration me semble assez simple, il faut d'abords montrer l'existence d'un neutre à gauche (la démonstration de Pdm dans cette page de discussion est alors simple et valide), puis montrer pour tout x, l'existence d'un symétrique à gauche (du fait que l'application z -> z.x est bijective). On sait que ces deux conditions plus l'associativité implique que l'élément neutre à gauche l'est aussi à droite (et est donc unique), et que le symétrique à gauche l'est aussi à droite (et est aussi unique). On n'aura même pas à démontrer cette dernière propriété puisqu'elle est déjà sur wikipédia (article groupe, Conséquences élémentaires de la définition / Affaiblissements des axiomes).
Je crois que ça vaudrait aussi le coup de répéter dans l'introduction la définition mais en "écriture mathématique", parce que ça saute aux yeux, et que quand on sait ce que ça veut dire, ça permet de ne pas chercher les informations les plus pertinentes ....
Je tente la modification si j'ai le temps dans la semaine, sauf si je lis des avis contraire sur cette page d'ici-là. --Un autre type (discuter) 16 avril 2018 à 18:28 (CEST)

J'ai eu un peu temps dés ce soir.
Finalement, étant donné l'existence de la section définition formelle, je me suis contenté de répéter l'énoncé à la fin de la section Principales propriétés mais avec une démonstration (peut-être inutilement détaillée, mais comme ça, il n'y a pas de problème). --Un autre type (discuter) 16 avril 2018 à 22:11 (CEST)

Neutre / non vide?

Pourquoi un quasigroupe devrait-il contenir un neutre en français et pas dans les autres langues ? Est-ce qu'il y a des sources concordantes pour cette nomenclature contradictoire ? — MFH 10 juillet 2022 à 23:36 (CEST)

Cohérence page semi-groupe

Je ne suis pas sûr de moi mais il me semble qu'il y a un manque de cohérence avec la page wikipédia sur les demi groupes, dans laquelle un quasi groupe associatif n'est pas décrit comme un groupe mais comme un demi groupe inversif. Phaelor (discuter) 5 octobre 2022 à 10:00 (CEST)