Sommation de Mittag-Leffler

En mathématiques, la sommation de Mittag-Leffler est une variante de la sommation de Borel pour sommer certaines séries entières divergentes, qui fut introduite par Gösta Mittag-Leffler.

Définition

Soit

$y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}$

une série formelle de la variable z.

On définit la transformée ${\mathcal {B}}_{\alpha }$ de y par :

${\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}.$

La somme de Mittag-Leffler de y est donnée, si chaque somme converge et que la limite existe, par :

$\lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z).$

Une méthode de sommation étroitement liée, aussi appelé sommation de Mittag-Leffler, est donnée comme suit : supposons que, au voisinage de 0, la transformée de Borel converge vers une fonction analytique qui peut être analytiquement prolongée le long de l'axe réel positif en une fonction à croissance suffisamment lente afin que l'intégrale suivante soit bien définie (il s'agit d'une intégrale impropre). La somme de Mittag-Leffler de y est donnée par

$\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,{\rm {d}}t.$

Lorsque α = 1, on retrouve la sommation de Borel.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mittag-Leffler summation » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Fonction de Mittag-Leffler