Schéma d'axiomes

En logique mathématique, la notion de schéma d’axiomes généralise celle d'axiome.

Définition formelle

Un schéma d’axiomes est une formule exprimée dans le métalangage d'un système axiomatique, dans lequel une ou plusieurs métavariables apparaissent. Ces variables, qui sont des constructions métalinguistiques, représentent n'importe quel terme ou sous-formule du système logique, qui peut être (ou ne pas être) tenu de satisfaire certaines conditions. Souvent, de telles conditions exigent que certaines des variables soient libres, ou que certaines variables n'apparaissent pas dans la sous-formule ou le terme.

Axiomatisation finie

La quantité de sous-formules possibles ou terme qui peuvent donner leur valeur à une métavariable est infinie dénombrable, un schéma d’axiome représente par conséquent en général un ensemble infini dénombrable d'axiomes. Cet ensemble peut généralement être défini de manière récursive. Une théorie qui peut être axiomatisée sans schéma est dite finiment axiomatisable. Ces dernières sont considérées méta-mathematiquement plus élégantes, même si elles sont moins pratiques pour un travail déductif.^{[réf. nécessaire]}

Exemples

Deux exemples très bien connus de schémas d’axiomes sont les suivants :

l'induction de schéma qui fait partie des axiomes de Peano pour l'arithmétique des nombres naturels ;
le schéma d’axiomes de remplacement qui fait partie de l'axiomatisation standard ZFC de la théorie des ensembles.

Il a été prouvé (d'abord par Richard Montague) que ces schémas ne peuvent pas être éliminés. L'arithmétique de Peano et de ZFC ne sont donc pas finiment axiomatisables. C'est également le cas pour bien d'autres axiomatiques des théories des mathématiques, de la philosophie, de la linguistique, etc.

Théories finiment axiomatisables

Tous les théorèmes de la ZFC sont également théorèmes de la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel, mais cette dernière est, assez étonnamment, finiment axiomatisée. La théorie des Nouvelles Fondations peut également être axiomatisée finiment, mais seulement avec une certaine perte d’élégance.

Dans les logiques d’ordres supérieurs

Les métavariables de logique du premier ordre sont généralement trivialement éliminables en logique d’ordre supérieur, car une métavariable est souvent un espace dédié à toute propriété ou relation sur les éléments de la théorie. C'est le cas des schémas d'Induction et de Remplacement mentionnés ci-dessus. La logique d’ordre supérieur permet aux variables quantifiées d’avoir pour domaine l'ensemble des propriétés ou des relations.

Voir aussi

Notes et références

(en) « Schéma », sur Stanford Encyclopedia of Philosophy
Corcoran, J. 2006. Schemata: the Concept of Schema in the History of Logic. Bulletin of Symbolic Logic 12: 219-40.
Mendelson, Elliot, 1997. Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall.
Potter, Michael, 2004. Set Theory and its Philosophy. Oxford Univ. Press.
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Axiom schema » (voir la liste des auteurs).