Restriction de Weil

En géométrie algébrique, la restriction de Weil est un $S$-schéma, issu d'un $S'$-schéma et d'un morphisme de schémas $S'\to S$. On s'intéresse souvent au cas où $S'\to S$ est une extension finie $L/K$.

La restriction porte le nom d'André Weil.

Définition

${\rm {Sch/S}}^{op}$ est la catégorie duale de la catégorie des $S$-schémas.

Soit $h:S'\to S$ un morphisme de schémas. Pour un $S'$-schéma $X$ considérons le foncteur contravariant

$\operatorname {Res} _{S'/S}(X):{\rm {Sch/S}}^{op}\to {\rm {Set}},\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X).$

Si le foncteur est représentable, alors le $S$-schéma correspondant est appelé la restriction de Weil de $X$ par rapport à $h$, qui peut aussi être noté par $\operatorname {Res} _{S'/S}(X)$.