Règle de résolution

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En logique mathématique, la règle de résolution ou principe de résolution de Robinson (en) est une règle d'inférence logique qui généralise le modus ponens. Cette règle est principalement utilisée dans les systèmes de preuve automatiques, elle est à la base du langage de programmation logique Prolog.

En logique propositionnelle[modifier | modifier le code]

La règle du modus ponens s'écrit \frac{p \qquad p \rightarrow q}{q} et se lit ː de p et de "p implique q", je déduis q. On peut réécrire l'implication "p implique q" comme "p est faux ou q est vraie". Ainsi, la règle du modus ponens s'écrit \frac{p \qquad (\lnot p \lor q)}{q}.

La règle de résolution, elle, généralise la règle du modus ponens car elle s'applique sur des clauses quelconques. Une clause est une formule qui est une disjonction (un "ou") de littéraux (une proposition atomique ou une proposition atomique précédé d'une négation. Par exemple (\lnot p \lor q) est une clause avec deux littéraux ("p" et "non p"). Ainsi, en logique propositionnelle, la règle de résolution s'écrit ː

\frac{(p \lor L_1 \lor \dots L_n) \qquad (\lnot p \lor M_1 \lor \dots \lor M_k)}{(L_1 \lor \dots L_n \lor M_1 \lor \dots \lor M_k)}

Autrement dit, étant donné deux clauses (p \lor L_1 \lor \ldots \lor L_n) et (\lnot p \lor M_1 \lor \ldots \lor M_k), on en déduit (L_1 \lor \dots L_n \lor M_1 \lor \dots \lor M_k). La formule déduite, c'est à dire (L_1 \lor \dots L_n \lor M_1 \lor \dots \lor M_k) est appelé résolvant de (p \lor L_1 \lor \ldots \lor L_n) et (\lnot p \lor M_1 \lor \ldots \lor M_k). Bien sûr, l'application de la règle est donnée à permutation près des littéraux.

Exemples[modifier | modifier le code]

Par exemple ː

\frac{(a \lor \lnot b \lor \lnot c) \qquad (b \lor e \lor \lnot f)}{(a \lor \lnot c \lor e \lor \lnot f)}

\frac{p \qquad \lnot p}{\bot}{\bot} dénote la contradiction (clause vide).

En logique des prédicats[modifier | modifier le code]

En logique des prédicats les formules atomiques sont de la forme P(t_1, \ldots, t_n)P est un symbole de prédicat et les t_i sont des termes composés de constantes, de variables et de symboles de fonctions. La règle de résolution en logique des prédicats est similaire à la règle de résolution en logique propositionnelle mais les formules atomiques partagées par deux clauses ne doivent pas être identiques mais unifiables. Deux formules atomiques sont unifiables s'il existe une substitution des variables par des termes qui rend les deux formules identiques (voir unification). Par exemple ː

\frac{P(a) \qquad (\lnot P(x) \lor Q(x))}{Q(a)}

est une application de la règle de résolution en logique des prédicats. Elle se lit ː de "P(a) et de "(pour tout x) non P(x) ou Q(x)", je déduis "Q(a)". Ici, la formule atomique P(a) et la formule atomique P(x) sont unifiables avec la substitution x \mapsto a. Plus généralement, la règle de résolution en logique des prédicats est ː

\frac{(A \lor L_1 \lor \dots L_n) \qquad (\lnot B \lor M_1 \lor \dots \lor M_k)}{(L_1[\sigma] \lor \dots L_n[\sigma] \lor M_1[\sigma] \lor \dots \lor M_k[\sigma])}

\sigma est un unificateur principal des formules atomiques A et B.

On peut effectuer la résolution sur deux littéraux s'ils portent sur des formules atomiques identiques ou sur des formules unifiables.

Par exemple, les formules atomiques

P(x, a, y) et P(c, a, z), où a et c sont des constantes,

sont unifiables par la substitution x \to c, y \to z. Par contre

P(x, a, y) et P(c, b, z)

ne sont pas unifiables car les constantes ne peuvent être remplacées.

Exemple[modifier | modifier le code]

C_1 = \lnot P(x) \lor \lnot Q(y) \lor R(x, y)

C_2 = Q(a)

C_3 = P(b)

La substitution y \to a permet d'appliquer la résolution sur Q, entre C_1 et C_2, ce qui produit

C_R = \lnot P(x) \lor R(x, a)

La substitution x \to b permet d'appliquer la résolution sur P, entre C_3 et C_R pour produire

C_S = R(b, a)

Résolution et preuves par réfutation[modifier | modifier le code]

En général on utilise le principe de résolution pour effectuer des preuves par réfutation. Pour prouver que la formule f est une conséquence logique des formules f_1, \ldots, f_n on démontre que l'ensemble \{f_1, \ldots, f_n, \lnot f\} est inconsistant.

Pratiquement, il faut commencer par mettre toutes les formules sous forme clausale, pour cela on doit les mettre sous forme prénexe (tous les quantificateurs au début) puis les skolémiser.

Pour montrer qu'un ensemble de clauses est inconsistant, il faut réussir à engendrer la clause vide en appliquant la règle de résolution autant de fois que nécessaire.


Exemple[modifier | modifier le code]

On veut montrer que les trois formules

  1. \forall x \ ((S(x) \lor T(x)) \to P(x)),
  2. \forall x \ (S(x) \lor R(x)),
  3. \lnot R(a)

ont pour conséquence la formule P(a).

La première formule est équivalente à (\forall x \ (S(x) \to P(x)) \land (\forall x \ (T(x) \to P(x)) et produit donc les deux clauses

C_1 = \lnot S(x) \lor P(x)

C_2 = \lnot T(x) \lor P(x)

La seconde formule donne immédiatement la clause

C_3 = S(x) \lor R(x)

et la troisième

C_4 = \lnot R(a).

La négation de la conséquence cherchée donne

C_5 = \lnot P(a)

Par résolution sur R de C_3 et C_4 avec x \to a on produit

C_6 = S(a)

Par résolution sur S de C_1 et C_6 on produit

C_7 = P(a)

Enfin C_5 et C_7 donnent la clause vide.

Stratégie d'application de la règle[modifier | modifier le code]

Le principe de résolution étant complet, si l'ensemble de clause considéré est inconsistant, on arrive toujours à générer la clause vide. Par contre, le problème de la consistance (satisfaisabilité) n'étant pas décidable en logique des prédicats, il n'existe pas de méthode pour nous dire quelles résolutions effectuer et dans quel ordre pour arriver à la clause vide.

On peut facilement trouver des exemples où l'on « s'enfonce » dans la génération d'une infinité des clauses sans jamais atteindre la clause vide, alors qu'on l'aurait obtenue en faisant les bons choix.

Différentes stratégies ont été développées pour guider le processus. Le système Prolog se base, par exemple, sur l'ordre d'écriture des clauses et l'ordre des littéraux dans les clauses. D'autres systèmes, comme CyC, utilisent une stratégie de coupure (en fonction des ressources consommées) pour éviter de générer des branches infinies.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Robinson J. A., A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle, J. Assoc. Comput. Mach. 12, 23-41, 1965.
  • (en) Kowalski, R., Logic for Problem Solving, North Holland, Elsevier, 1979.
  • (fr) Benzaken, C., Systèmes formels : introduction à la logique et à la théorie des langages, Masson, Paris, 1991.
  • (en) Bundy, A., The Computer Modelling of Mathematical Reasoning, Academic Press, London, 1983.
  • (en) Huth, M., Ryan, M. Logic in Computer Science, Cambridge University Press, 2004.