En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e9e51a17de3666a18693c705746a76063a6581)
où
est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962e36fdbe757daeefe6c4da13df6daab5dbc8be)
pour laquelle la valeur finale est
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea914c1a25729ba439473ae730691436177d86e)
Ici, pour l'entier
![{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6668e8f4ff4bf4162d399a1ec429a3ab32ee40e)
et
est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété
pour
. Ainsi,
![{\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{pour}}\quad n<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d43b4734d788c90ba1bad805aaac8403faa356)
Les polynômes ont la relation de symétrie
; ainsi, l'autre valeur finale est
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74d400c2b4a877084a6640c2d549661e3916a0a)
Pour un nombre réel
, le polynôme de Jacobi peut être écrit alternativement sous la forme
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc513a6251b0d437f9b52da6134b2bfa2030fd9f)
où
et
.
Dans le cas particulier où les quatre quantités
,
,
et
sont des nombres entiers positifs,
le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d82730cbf4eb92d90abc188c0de9c6aed3dac0c)
La somme sur
s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.
Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner
(
) en termes de polynômes de Jacobi[1]
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abcaf41d9baf29c60160c839c3d9e062c80ce9e)
Dérivées
La
-ème dérivée de l'expression explicite conduit à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa63a834344746d8b863181ede59fd9a4bf4115f)
Référence
- ↑ L. C. Biedenharn et J. D. Louck,
Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
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