Plus longue sous-suite strictement croissante

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

La recherche d'une plus longue sous-suite strictement croissante dans une suite finie est un problème classique en algorithmique. Ce problème peut être résolu en temps O(n log n) en la longueur de la suite.

Description[modifier | modifier le code]

L'entrée du problème est une suite finie x1, ..., xn. De façon formelle, l'objectif est de trouver une sous-suite strictement croissante de la suite , étant une fonction strictement croissante ⟦1, L⟧ → ⟦1, n⟧, pour la plus grande longueur L possible[1].

Par exemple, la suite (6, 1, 4, 9, 5, 11) possède des sous-suites strictement croissantes de longueur 4, mais aucune de longueur 5. Une plus longue sous-suite strictement croissante est (1, 4, 9, 11), obtenue en prenant les éléments en position 2, 3, 4 et 6 de la suite initiale. En général, la solution n'est pas unique. Ici, une autre solution est (1, 4, 5, 11).

Ce problème est parfois désigné par l'acronyme LIS, pour longest increasing subsequence.

Algorithme[modifier | modifier le code]

L'algorithme de programmation dynamique suivant résout le problème de la plus longue sous-suite croissante en temps quasi-linéaire O(n log n). Il utilise seulement des tableaux et une fonction de recherche dichotomique. Il traite les éléments de la suite dans l'ordre, en gardant en mémoire la plus longue sous-suite strictement croissante trouvée jusqu'à présent et d'autres sous-suites plus courtes mais dont le dernier élément est plus petit (donc potentiellement plus faciles à compléter avec les éléments suivants). Les éléments de la suite sont notés X[1], X[2], ..., X[N]. Après avoir traité X[i], les invariants suivants sont vérifiés :

  • M[j] contient une position k telle que X[k] soit la plus petite valeur possible du dernier élément d'une sous-suite strictement croissante de X[1], ..., X[i] ayant exactement j éléments.
  • P[k] contient l'indice du prédécesseur de X[k] dans une plus longue sous-suite strictement croissante se terminant en position k.

L'algorithme conserve dans une variable L la longueur de la plus longue sous-suite strictement croissante trouvée.

À tout moment, la suite X[M[1]], X[M[2]], ..., X[M[L]] est croissante. En effet, s'il existe une sous-suite strictement croissante de longueur i>1 se terminant en position M[i], alors il existe une sous-suite strictement croissante de longueur i-1 se terminant par une valeur inférieure. Comme la suite est croissante, il est possible de faire une recherche dichotomique dans cette suite. Attention : en général, la suite d'indices M[1], M[2], ..., M[L] n'est pas croissante, donc X[M[1]], X[M[2]], ..., X[M[L]] n'est pas une sous-suite de X[1], ..., X[L] (donc pas une solution du problème).

Description de l'algorithme :

Entrée : X, un tableau indicé de 1 à n.
Sortie : L, longueur de la plus longue sous-suite strictement croissante de X.
         P, tableau de prédécesseurs permettant de reconstruire explicitement la suite.

P = tableau indicé de 1 à n
M = tableau indicé de 0 à n

L = 0
M[0] = 0
pour i = 1, 2, ..., n :
   par recherche dichotomique, trouver le plus grand entier j tel que 1 ≤ j ≤ L
     et X[M[j]] < X[i] ou définir j = 0 s'il n'en existe aucun.
   P[i] = M[j]
   si j == L ou X[i] < X[M[j + 1]] :
      M[j + 1] = i
      L = max(L, j + 1)

Les éléments de la sous-suite peuvent être calculés en partant du dernier élément X[M[L]], puis en remontant dans le tableau P des prédécesseurs : l'avant-dernier élément est X[P[M[L]]], l'antépénultième est X[P[P[M[L]]]], etc.

À chaque tour de boucle, l'opération la plus coûteuse est la recherche dichotomique, de complexité O(log n). Le temps total d'exécution de l'algorithme est donc O(n log n).

Liens avec la plus longue sous-séquence commune[modifier | modifier le code]

Le problème de la plus longue sous-suite croissante est lié à celui de la plus longue sous-suite commune à deux suites, pour lequel il existe un algorithme de résolution par programmation dynamique de complexité quadratique : pourvu que l'alphabet sur lequel sont définies les chaînes soit muni d'une relation d'ordre, la plus longue sous-suite croissante d'une suite S est la plus longue sous-suite commune à S et T, où T est obtenue en triant S.

Inversement, le problème de la plus longue sous-suite commune à deux suites (S1, ..., Sn) et (T1, ..., Tm) peut être réduit au problème de la plus longue sous-suite croissante. Pour cela, on note A[x] la liste des indices des éléments de S valant x par ordre décroissant. la plus longue sous-suite strictement croissante de la suite obtenue en concaténant A[T1], ..., A[Tm] est égale à la longueur de la plus longue sous-suite commune à S et T. La taille de la suite obtenue par concaténation est au plus nm, mais seulement m si la première suite ne contient pas d'élément en double. Ainsi, la réduction donne une méthode de résolution du problème de la plus longue sous-suite commune relativement efficace dans des cas particuliers courants[2].

Plus longue suite croissante d'une permutation[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

On note par le groupe symétrique de permutations de ⟦1, n⟧ vers lui-même. Soit une permutation, on identifie la plus longue suite croissante de la permutation avec la plus longue sous suite croissante de et soit sa longueur. présente également le nombre de piles dans le Patience sorting[3].

Théorème de Baik-Deift-Johansson[4][modifier | modifier le code]

Soit un entier non nul et la mesure de Haar (probabilité uniforme) sur alors pour tout réel

avec est la fonction cumulative de la distribution de Tracy-widom pour

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Longest increasing subsequence » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Craige Schensted, « Longest increasing and decreasing subsequences », Canadian Journal of Mathematics, vol. 13,‎ , p. 179-191 (DOI 10.4153/CJM-1961-015-3, Math Reviews 0121305).
  2. (en) Dan Gusfield, Algorithms on Strings, Trees, and Sequences : Computer Science and Computational Biology, Cambridge University Press, (ISBN 9780521585194), « Refining Core String Edits and Alignments », p. 290-292.
  3. « American Mathematical Society » (DOI 10.1090/s0273-0979-99-00796-x, consulté le 17 janvier 2018)
  4. « American Mathematical Society » (DOI 10.1090/s0894-0347-99-00307-0, consulté le 17 janvier 2018)

Voir aussi[modifier | modifier le code]