En analyse mathématique , la prépondérance ou négligeabilité relie deux fonctions à valeurs dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
voisinage d'un point ou de l'infini.
Par exemple, avec
f
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}
g
:
x
↦
3
x
{\displaystyle g:x\mapsto 3x}
x
→
±
∞
{\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }
3
x
{\displaystyle 3x}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
g
=
∞
o
(
f
)
.
{\displaystyle g\ {\underset {\infty }{=}}\ o(f).}
Avec la domination et l'équivalence , la négligeabilité est une relation de comparaison . Elle est transitive , mais n'est ni réflexive , ni symétrique .
Soient
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
partie
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
a
{\displaystyle a}
point adhérent à
I
{\displaystyle I}
a
{\displaystyle a}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
On dit que
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
voisinage
V
{\displaystyle V}
a
{\displaystyle a}
ε
→
a
0
{\displaystyle \varepsilon \ {\underset {a}{\rightarrow }}\ 0}
f
=
ε
g
{\displaystyle f=\varepsilon g\ }
V
∩
I
{\displaystyle V\cap I}
Ce qui est équivalent à :
si
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
∀
ε
>
0
∃
η
>
0
∀
x
∈
]
a
−
η
,
a
+
η
[
∩
I
|
f
(
x
)
|
≤
ε
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}
si
a
=
+
∞
{\displaystyle a=+\infty }
∀
ε
>
0
∃
A
∈
R
∀
x
∈
[
A
,
+
∞
[
∩
I
|
f
(
x
)
|
≤
ε
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[A,+\infty \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}
si
a
=
−
∞
{\displaystyle a=-\infty }
∀
ε
>
0
∃
A
∈
R
∀
x
∈
]
−
∞
,
A
]
∩
I
|
f
(
x
)
|
≤
ε
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left]-\infty ,A\right]\cap I\ \quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}
Une autre caractérisation plus commode dans le cas où
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\ \ {f(x) \over g(x)}=0}
On écrit alors
f
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
f
{\displaystyle f}
o
{\displaystyle o}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
notations de Landau .
Dans le cas où
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
a
x
≠
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\underset {x\neq a}{x\to a}}{\dfrac {f(x)}{g(x)}}=0}
f
(
a
)
=
0
{\displaystyle f(a)=0}
Si
f
1
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
f
2
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
f
1
+
f
2
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
Si
f
1
=
a
o
(
g
1
)
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1})}
f
2
=
a
O
(
g
2
)
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})}
f
1
f
2
=
a
o
(
g
1
g
2
)
{\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1}g_{2})}
en particulier, si
f
1
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
f
2
{\displaystyle f_{2}}
bornée au voisinage de a , alors
f
1
f
2
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
Si
f
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
g
=
a
O
(
h
)
{\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)}
f
=
a
O
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)}
g
=
a
o
(
h
)
{\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}
f
=
a
o
(
h
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}
en particulier,
=
a
o
{\displaystyle \,{\underset {a}{=}}\,o}
transitive .
f
∼
a
g
⇔
f
−
g
=
a
o
(
g
)
⇔
f
=
a
g
+
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Leftrightarrow f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Leftrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,g+o(g)}
Une échelle de comparaison
E
a
{\displaystyle E_{a}}
[ 1] a (sauf peut-être en a ), non équivalentes à 0 en a , telle que :
∀
(
f
,
g
)
∈
E
a
2
f
≠
g
⇒
(
f
=
a
o
(
g
)
ou
g
=
a
o
(
f
)
)
{\displaystyle \forall (f,g)\in {E_{a}}^{2}\quad f\neq g\Rightarrow \left(f\,{\underset {a}{=}}\,o(g){\text{ ou }}g\,{\underset {a}{=}}\,o(f)\right)}
Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a ), ne s'annulant pas sur
V
∖
{
a
}
{\displaystyle V\setminus \{a\}}
E
a
{\displaystyle E_{a}}
a .
On dit que f admet la fonction
g
∈
E
a
{\displaystyle g\in E_{a}}
E
a
{\displaystyle E_{a}}
A non nul tel que
f
∼
a
A
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,Ag}
f
=
a
A
g
+
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,Ag+o(g)}
[ 2]
Unicité en cas d'existence
Soient
f
1
{\displaystyle f_{1}}
f
2
{\displaystyle f_{2}}
g
1
{\displaystyle g_{1}}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
E
a
{\displaystyle E_{a}}
La partie principale de
f
1
f
2
{\displaystyle f_{1}f_{2}}
E
a
{\displaystyle E_{a}}
g
1
g
2
{\displaystyle g_{1}g_{2}}
Si
g
1
=
a
o
(
g
2
)
{\displaystyle g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
E
a
{\displaystyle E_{a}}
Si
g
1
=
g
2
{\displaystyle g_{1}=g_{2}}
A
1
+
A
2
≠
0
{\displaystyle A_{1}+A_{2}\neq 0}
(
A
1
+
A
2
)
g
1
{\displaystyle (A_{1}+A_{2})g_{1}}
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
E
a
{\displaystyle E_{a}}
Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur
I
=
N
{\displaystyle I=\mathbb {N} }
a
=
+
∞
{\displaystyle a=+\infty }
Par conséquent, une suite
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
(
v
n
)
{\displaystyle (v_{n})}
il existe une suite
(
ε
n
)
{\displaystyle (\varepsilon _{n})}
u
n
=
ε
n
v
n
{\displaystyle u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}}
ou encore :
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
n
≥
N
|
u
n
|
≤
ε
|
v
n
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad |u_{n}|\leq \varepsilon |v_{n}|}
ce qui, lorsque
(
v
n
)
{\displaystyle (v_{n})}
lim
n
→
+
∞
u
n
v
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=0}
On note :
u
n
=
o
(
v
n
)
{\displaystyle u_{n}=o(v_{n})}
↑ Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques , Techniques de l'ingénieur, 2004 (lire en ligne ) , p. 4 ↑ Randé 2004 , p. 5.
Sur les autres projets Wikimedia :
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50734f23b43c249ae48d4fc9fc502091deb31b46)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left]-\infty ,A\right]\cap I\ \quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994b2a3d662d05fdddbb2d256a0b7f592b703fb6)
