Nombre cabtaxi

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre cabtaxi, souvent noté Cabtaxi(n), est défini comme le plus petit entier strictement positif pouvant s'écrire d'au moins n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes d'entiers relatifs. Les nombres cabtaxi existent pour tout n ≥ 1 puisqu'il en est de même pour les nombres taxicab ; mais seulement dix d'entre eux sont prouvés (suite A047696 de l'OEIS) :

Nombres cabtaxi connus

${\begin{matrix}Ca(1)&=&1\\&=&1^{3}+0^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(2)&=&91\\&=&3^{3}+4^{3}\\&=&6^{3}-5^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(3)&=&728\\&=&6^{3}+8^{3}\\&=&9^{3}-1^{3}\\&=&12^{3}-10^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(4)&=&2741256\\&=&108^{3}+114^{3}\\&=&140^{3}-14^{3}\\&=&168^{3}-126^{3}\\&=&207^{3}-183^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(5)&=&6017193\\&=&166^{3}+113^{3}\\&=&180^{3}+57^{3}\\&=&185^{3}-68^{3}\\&=&209^{3}-146^{3}\\&=&246^{3}-207^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(6)&=&1412774811\\&=&963^{3}+804^{3}\\&=&1134^{3}-357^{3}\\&=&1155^{3}-504^{3}\\&=&1246^{3}-805^{3}\\&=&2115^{3}-2004^{3}\\&=&4746^{3}-4725^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(7)&=&11302198488\\&=&1926^{3}+1608^{3}\\&=&1939^{3}+1589^{3}\\&=&2268^{3}-714^{3}\\&=&2310^{3}-1008^{3}\\&=&2492^{3}-1610^{3}\\&=&4230^{3}-4008^{3}\\&=&9492^{3}-9450^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(8)&=&137513849003496\\&=&22944^{3}+50058^{3}\\&=&36547^{3}+44597^{3}\\&=&36984^{3}+44298^{3}\\&=&52164^{3}-16422^{3}\\&=&53130^{3}-23184^{3}\\&=&57316^{3}-37030^{3}\\&=&97290^{3}-92184^{3}\\&=&218316^{3}-217350^{3}\\\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(9)&~=&424910390480793000\end{matrix}}$

${\begin{matrix}Ca(10)&=&933528127886302221000\end{matrix}}$

Les nombres Cabtaxi(5), Cabtaxi(6) et Cabtaxi(7) ont été trouvés par Randall L. Rathbun en 1992, Cabtaxi(8) a été trouvé par Daniel J. Bernstein en 1998, Cabtaxi(9) a été trouvé par Duncan Moore en 2005, Cabtaxi(10) a été identifié par Christian Boyer en 2006 et confirmé par Uwe Hollerbach en 2008.

Majorants de nombres cabtaxi

De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Cabtaxi. L'entier $\operatorname {Ca} (n)$ est le plus petit qui est somme ou différence de deux cubes de $n$ façons différentes. Si on trouve un entier $m$ qui est somme de deux cubes de $n$ façons différentes, on a donc $\operatorname {Ca} (n)\leq m$. On a ainsi de tels exemples pour $n$ allant de 11 à 42. A titre d'exemple, on a :

$Ca(12)\leq 10^{24}$

$Ca(22)\leq 10^{58}$

$Ca(32)\leq 10^{95}$

$Ca(42)\leq 10^{158}$

Voir aussi

Nombre taxicab généralisé

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cabtaxi number » (voir la liste des auteurs).