Mécanique de Nambu

En mathématiques, la mécanique de Nambu est une généralisation de la mécanique hamiltonienne impliquant plusieurs quantités conservées, appelées Hamiltoniens. Par construction, la mécanique hamiltonienne est fondée sur des flots générés par un seul hamiltonien lisse sur une variété symplectique. Ces flots sont des symplectomorphismes et obéissent au théorème de Liouville, qui ensuite ont été généralisés aux flots générés par un seul hamiltonien sur une variété de Poisson. En 1973, Yoichiro Nambu a suggéré une généralisation impliquant d'autres variétés, appelées variétés de Nambu – Poisson dont la structure topologique nécessite plus d'un hamiltonien^[1].

Crochet de Nambu

Soit une variété différentielle $M$ , pour un entier $N \geq 2$ ; il existe une application $N$ -linéaire lisse de $N$ copies de $C \infty (M)$ sur lui-même, telle qu'elle est complètement antisymétrique. On l'appelle crochet de Nambu et il s'écrit :

\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),

de sorte qu'en agissant comme une dérivation

\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},

il fournit les Identités de Filippov (FI)^[2] (évocatrices des identités de Jacobi, mais contrairement à elles, elles sont non antisymétriques dans tous les arguments, pour $N \geq 2$ ) qui s'écrivent :

$\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots$ $+\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},$

de sorte que ${f 1, ..., f N -1, •}$ agit comme une dérivation généralisée sur le produit à $N$ composantes ${. ,..., .}$ .

Hamiltoniens et flot

Il y a N − 1 Hamiltoniens, $H 1, ..., H N -1$ $H 1, ..., H N -1$ , générant un écoulement incompressible ,

{\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},

La vitesse généralisée dans l'espace des phases présente une divergence nulle, ce qui permet d'établir le théorème de Liouville. Le cas $N = 2$ réduit la structure à une variété de Poisson et conduit à la mécanique hamiltonienne conventionnelle.

Pour $N$ entier et plus grand strictement que 2, les $N -1$ hamiltoniens s'identifient au nombre maximal d'invariants indépendants du mouvement (cf. Quantités conservées ) caractérisant un système superintégrable qui évolue dans un espace des phases à $N$ dimensions. Il n'est cependant pas indispensable d'avoir recours à la mécanique de Nambu et de tels systèmes peuvent également être décrits par la dynamique hamiltonienne conventionnelle; mais leur description dans le cadre de la mécanique de Nambu est sensiblement plus élégante et intuitive, car tous les invariants jouissent du même statut géométrique que l'hamiltonien. Ainsi la trajectoire dans l'espace des phases est l'intersection des $N - 1$ hypersurfaces spécifiées par ces invariants. De plus le flot est perpendiculaire à tous les $N - 1$ gradients de ces hamiltoniens, et donc parallèle au produit vectoriel généralisé spécifié par son crochet de Nambu.

La dynamique des fluides peut être vue comme une mécanique de Nambu, où les crochets de Nambu résultants sont non canoniques et les hamiltoniens sont identifiés avec le Casimir du système, comme l'enstrophie ou l'hélicité^[3]^,^[4].

Par analogie, la précession magnétique peut aussi être vue comme une mécanique de Nambu où les quantités conservées sont respectivement l'énergie et la norme de l'aimantation^[5].

La quantification de la mécanique de Nambu conduit à des structures intrigantes^[6] qui coïncident avec celles de quantification conventionnelles lorsque des systèmes superintégrables sont impliqués.

Voir aussi

Bibliographie

Curtright et Zachos, « Classical and quantum Nambu mechanics », Physical Review, vol. D68, n^o 8,‎ 2003, p. 085001 (DOI 10.1103/PhysRevD.68.085001, Bibcode 2003PhRvD..68h5001C, arXiv hep-th/0212267, S2CID 17388447)
Filippov, « n-Lie Algebras », Sib. Math. Journal, vol. 26, n^o 6,‎ 1986, p. 879–891 (DOI 10.1007/BF00969110, S2CID 125051596)
Nambu, « Generalized Hamiltonian dynamics », Physical Review, vol. D7, n^o 8,‎ 1973, p. 2405–2412 (DOI 10.1103/PhysRevD.7.2405, Bibcode 1973PhRvD...7.2405N)
Nevir et Blender, « A Nambu representation of incompressible hydrodynamics using helicity and enstrophy », J. Phys. A, vol. 26, n^o 22,‎ 1993, p. 1189–1193 (DOI 10.1088/0305-4470/26/22/010, Bibcode 1993JPhA...26L1189N)
Blender et Badin, « Hydrodynamic Nambu mechanics derived by geometric constraints », J. Phys. A, vol. 48, n^o 10,‎ 2015, p. 105501 (DOI 10.1088/1751-8113/48/10/105501, Bibcode 2015JPhA...48j5501B, arXiv 1510.04832, S2CID 119661148)
Blender et Badin, « Construction of Hamiltonian and Nambu Forms for the Shallow Water Equations », Fluids, vol. 2, n^o 2,‎ 2017, p. 24 (DOI 10.3390/fluids2020024, arXiv 1606.03355, S2CID 36189352)
Thibaudeau, Nussle et Nicolis, « Nambu mechanics for stochastic magnetization dynamics », J.Magn.Magn. Mater., vol. 432,‎ 2017, p. 175 (DOI 10.1016/j.jmmm.2017.01.088, arXiv 1610.04598)

Articles connexes

[1] Nambu 1973

[2] Filippov 1986

[3] Nevir et Blender 1993

[4] Blender et Badin 2015

[5] Thibaudeau, Nussle et Nicolis 2017

[6] Curtright et Zachos 2003

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[6]