Multiensemble

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Un multiensemble (parfois appelé sac, de l'anglais bag utilisé comme synonyme de multiset) est une sorte d'ensemble dans lequel chaque élément peut apparaître plusieurs fois. C'est une généralisation de la notion d'ensemble : un ensemble ordinaire est un multiensemble dans lequel chaque élément apparaît au plus une seule fois ; ce qu'impose, pour les ensembles usuels, l'axiome d'extensionnalité.

On nomme multiplicité d'un élément donné le nombre de fois où il apparaît. Un multiensemble est fini si la somme des multiplicités de ses éléments est finie, ou plus simplement s'il n'a qu'un nombre fini d'éléments (les multiplicités étant toujours finies).

Définition formelle

Formellement, un multiensemble est un couple $(A,m)$ où $A$ est un ensemble appelé support et $m$ une fonction de $A$ dans l'ensemble des entiers naturels, appelée multiplicité (notée $m$ ). Dans le multiensemble $(A,m)$ , l'élément $x$ apparaît $m(x)$ fois.

Un multiensemble fini se note en utilisant des accolades doubles $\{\!\!\{\ldots \}\!\!\}$ qui encadrent les éléments, ayant une multiplicité strictement positive, répétés autant de fois que celle-ci. Ainsi $\{\!\!\{a,b,a,b,b,d\}\!\!\}$ représente le multiensemble $(\{a,b,c,d\},m)$ où $m$ est la fonction telle que $m(a)=2$ , $m(b)=3$ , $m(c)=0$ et $m(d)=1$ .

On peut également voir un multiensemble comme une liste commutative, c'est-à-dire dont on peut permuter les éléments, autrement dit comme un élément du monoïde commutatif libre sur A.

Une expression $\{\!\!\{a\}\!\!\}$ peut donc représenter des multiensembles distincts, comme $(\{a\},m)$ et $(\{a,b\},m')$ (avec $m(a)=m'(a)=1$ ; $m'(b)=0$ ). On peut contourner cette difficulté en introduisant une relation d'égalité ad hoc, ou mieux en exigeant que la multiplicité d'un élément du support soit non nulle. Pour éviter cette ambiguïté, on prend comme référence un ensemble de base $M$ sur lequel on considère les multiensembles, ainsi si $M$ est donné, les multiensembles finis sont les applications $M\rightarrow \mathbb {N}$ , nulles partout sauf sur un sous-ensemble fini de $M$ , ainsi $\{\!\!\{a\}\!\!\}$ est défini sans ambiguïté, comme la fonction de $M$ vers $\mathbb {N}$ qui vaut $0$ partout sauf en $a$ où elle vaut $1$ .

Ordre multiensemble

Si on munit $A$ d'un ordre $<$ , il est possible de définir un ordre entre les multiensembles de support $A$ que l'on appelle ordre multiensemble : $(A,m)$ est supérieur à $(A,n)$ pour l'ordre multiensemble si $(A,n)$ peut s'obtenir à partir de $(A,m)$ en remplaçant chaque élément de $(A,m)$ par un nombre quelconque d'éléments plus petits.

Exemple : si on ordonne les lettres dans l'ordre alphabétique ( $a<b<c<d$ ), alors $\{\!\!\{a,a,c,d\}\!\!\}$ est strictement plus petit que $\{\!\!\{b,d,d\}\!\!\}$ .