Moyenne identrique

Comparaisons entre les moyennes arithmétique (bleu), géométrique (vert), harmonique (violet) et identrique (rouge) de 1 et x, pour x entre 1 et 5.

La moyenne identrique de deux nombres réels positifs x , y est définie comme :

${\begin{aligned}I(x,y)&={\frac {1}{\mathrm {e} }}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi }}{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{si }}x=y\\[8pt]{\frac {1}{\mathrm {e} }}{\sqrt[{x-y}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{sinon.}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Elle peut être dérivée du théorème des accroissements finis en considérant la sécante de la courbe de la fonction $x\mapsto x\cdot \ln x$. La moyenne identrique est un cas particulier de la moyenne de Stolarsky, et, en tant que telle, peut être généralisée à davantage de variables par le théorème des valeurs intermédiaires pour les différences divisées (en).

Motivation

On peut montrer simplement que la limite de la moyenne arithmétique des valeurs contenues dans un intervalle [a , b] est l'espérance mathématique de la fonction identité sur [a , b] : en effet, pour f continue sur un intervalle [a , b], on considère n + 1 points a = x₀ < ... < x_n = b. Alors :

$\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction f continue positive sur un intervalle [a , b] est moins évidente : en posant

$\ell =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}f(x_{k})}}$

on a :

$\ln(\ell )=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(f(x_{k}))={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(f(x))\,\mathrm {d} x$

On en déduit :

$\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x\right)$

Or :

$\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x=[x\ln x-x]_{a}^{b}=b\ln(b)-b-a\ln(a)+a=\ln \left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\mathrm {e} ^{-(b-a)}\right)$

On en déduit ainsi :

$\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=I(a,b).$

Comparaison

Pour deux nombres positifs a et b, on a l'inégalité:

$H(a,b)<G(a,b)<L(a,b)<P(a,b)<I(a,b)<A(a,b)$

où :

• H désigne la moyenne harmonique ;
• G désigne la moyenne géométrique ;
• L désigne la moyenne logarithmique ;
• P désigne la deuxième moyenne de Seiffert ;
• A désigne la moyenne arithmétique.

De même, si M_p désigne la moyenne d'ordre p, alors:

$M_{2/3}(a,b)<I(a,b)<M_{\ln 2}(a,b)$

Voir aussi

• Moyenne
• Moyenne logarithmique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Identric mean » (voir la liste des auteurs).