Mesure spectrale

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En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, une mesure spectrale est une application définie sur une tribu à valeurs dans l'espace des projections orthogonales d'un espace hilbertien et vérifiant des axiomes semblables à ceux qui définissent les mesures positives. Les mesures spectrales sont utilisées pour exprimer des résultats en théorie spectrale, tels que le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints.

Les mesures spectrales ont des propriétés similaires aux mesures réelles positives.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble muni d'une tribu . Une mesure spectrale, aussi appelée homorphisme spectral, est une application définie sur l'algèbre des fonctions complexes mesurables bornées sur ayant les propriétés suivantes:

  1. est un morphisme involutif de l'algèbre dans l'algèbre involutive des opérateurs bornés dans un espace hilbertien
  2. Si , alors la fonction d'ensemble
est une mesure a valeurs complexes.