Matrice à signes alternants

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Les 7 matrices à signes alternants de taille 3

En mathématique combinatoire, une matrice à signes alternants est une matrice carrée formée de coefficients 0, 1 et −1 de telle sorte que la somme de chaque ligne et de chaque colonne soit égale à 1 et que les signes des coefficients non nuls soient alternés dans chaque ligne et dans chaque colonne.  Ces matrices généralisent les matrices de permutation et apparaissent naturellement dans la méthode de condensation de Dodgson (en) pour calculer les déterminants. Elles sont aussi liées au modèle à six sommets en physique statistique. Elles ont été introduites pour la première fois par William Mills, David Robbins et Howard Rumsey dans le contexte de la condensation de Dodgson.

Exemple[modifier | modifier le code]

Voici un exemple de matrice à signes alternants (qui n'est pas une matrice de permutation).

Image sous forme de puzzle

La conjecture des matrices à signes alternants[modifier | modifier le code]

La conjecture des matrices à signes alternants énonce que le nombre de matrices à signes alternants de taille  est 

Les premiers termes de cette suite pour n = 0, 1, 2, 3… sont

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348… (suite A005130 dans l'OEIS).

Cette conjecture a été démontrée par Doron Zeilberger en 1992[1]. En 1995, Greg Kuperberg a donné une démonstration relativement courte[2] utilisant l'équation de Yang-Baxter pour le modèle à 6 sommets, qui passe par un calcul de déterminant[3], en résolvant des relations de récurrence dues à Vladimir Korepin[4].

La conjecture de Razumov–Stroganov[modifier | modifier le code]

En 2001, A. Razumov et Y. Stroganov ont conjecturé une connexion entre le modèle des boucles O(1), le modèle des boucles tassées (Fully Packed Loops) et les matrices à signes alternants[5]. Cette conjecture a été démontrée en 2010 par L. Cantini et A. Sportiello[6].

Références[modifier | modifier le code]

  1. Zeilberger, Doron, Proof of the alternating sign matrix conjecture, Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.
  2. Kuperberg, Greg, Another proof of the alternating sign matrix conjecture, International Mathematics Research Notes (1996), 139-150.
  3. Determinant formula for the six-vertex model, A. G. Izergin et al. 1992 J. Phys.
  4. V. E. Korepin, Calculation of norms of Bethe wave functions, Comm.
  5. Razumov, A.V., Stroganov Yu.G., Spin chains and combinatorics, Journal of Physics A, 34 (2001), 3185-3190.
  6. L. Cantini and A. Sportiello, Proof of the Razumov-Stroganov conjectureJournal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (5), (2011) 1549–1574,