Longueur de Debye

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En physique des plasmas, la longueur de Debye, en référence au chimiste Peter Debye, est l'échelle de longueur sur laquelle les charges électriques (par exemple les électrons) écrantent le champ électrostatique dans un plasma ou un autre conducteur. Autrement dit, la longueur de Debye est la distance au delà de laquelle une séparation significative des charges peut avoir lieu.

La longueur de Debye apparait aussi dans la théorie des solutions d'électrolyte ; elle y définit la longueur sur laquelle les ions présents en solution font écran au champ électrique, généré par exemple par une paroi chargée ou un colloïde. De manière équivalente, la longueur de Debye caractérise l'épaisseur de la double couche électrique, nom donné à la couche diffuse d'ions qui apparait en vis-à-vis d'une surface chargée, porteuse d'une charge nette opposée à celle de la surface.

Origine physique[modifier | modifier le code]

La longueur de Debye se pose dans la description thermodynamique des systèmes à grand nombre de charges mobiles. Dans un système de N différentes espèces de charges, la j-ième espèce porte la charge q_j et a une concentration n_j(\mathbf{r}) à la position \mathbf{r}. D'après le dénommé "primitive model", ces charges sont réparties dans un milieu continu qui est caractérisé seulement par sa permittivité relative statique \varepsilon_r. La répartition des charges dans le milieu est donnée par un potentiel électrique \Phi(\mathbf{r}) qui satisfait l'équation de Poisson:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}),

\varepsilon_0 est la permittivité diélectrique du vide.

Ces charges mobiles créent aussi un mouvement en réponse à la force de Coulomb associée - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}). La concentration de la j-ième espèce de charge est décrite par la distribution de Boltzmann:

 n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right),

k_B est la constante de Boltzmann et n_j^0 est la concentration moyenne de charge de l'espèce j.

En identifiant les concentrations instantanées et le champ moyen dans ces deux équations, cela donne l'équation de Poisson-Boltzmann.

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right).

Une solution peut être trouvée pour les systèmes à hautes températures lorsque q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T par un développement en série de Taylor de la fonction exponentielle:

 \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx 1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}.

Cette approximation donne l'équation de Poisson-Boltzmann linéarisée

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j

qui est aussi connue sous le nom d'équation de Debye-Hückel. Le second terme de la partie droite disparaît pour les systèmes électriquement neutres. Le terme entre parenthèses est homogène à l'inverse d'une longueur au carré et donne la longueur caractéristique :

 \lambda_D = 
\left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

Dans l'espace, la densité d'électrons dans les plasmas est relativement faible, ce qui permet d'obtenir les ordres de grandeurs macroscopiques pour la longueur de Debye (voir table) :

Plasma Densité
ne(m-3)
Température des électrons
T(K)
Champ magnétique
B(T)
Longueur de Debye
λD(m)
Décharge dans un gaz 1016 104 -- 10-4
Tokamak 1020 108 10 10-4
Ionosphère 1012 103 10-5 10-3
Magnétosphère 107 107 10-8 102
Noyau solaire 1032 107 -- 10-11
Vent solaire 106 105 10-9 10
Milieu interstellaire 105 104 10-10 10
Milieu intergalactique 1 106 -- 105
Source : (en) Chapter 19: The Particle Kinetics of Plasma
http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2008/

La longueur de Debye dans un plasma[modifier | modifier le code]

 \lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\displaystyle\frac{\varepsilon_0\,k_B}{q_\mathrm{e}^2}}{\displaystyle\frac{n_\mathrm{e}}{T_\mathrm{e}}+\displaystyle\sum_\mathrm{ij} \frac{j^2n_\mathrm{ij}}{T_\mathrm{i}}}}

où:

\lambda_\mathrm{D} est la longueur de Debye,

\varepsilon_0 est la permittivité du vide,

k_\mathrm{B} est la constante de Boltzmann,

q_\mathrm{e} est la charge d'un électron,

T_\mathrm{e} et T_\mathrm{i} sont respectivement les températures des électrons et des ions,

n_\mathrm{e} est la densité d'électrons,

n_\mathrm{ij} est la densité d'atomes i ayant une charge jq_\mathrm{e}

Le terme ionique est souvent négligé (lorsque la température des ions est négligeable devant celle des électrons}. La formule se simplifie alors en :

 \lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0\,k_\mathrm{B}\,T_\mathrm{e}}{n_\mathrm{e}\,{q_\mathrm{e}}^2}}

La longueur de Debye dans un électrolyte[modifier | modifier le code]

Expression[modifier | modifier le code]

En présence de n types d'ions de charge q_\mathrm{i} (i = 1,\ldots,n) dans la solution d'électrolyte, la longueur de Debye est donnée par :

\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{ \frac{\varepsilon_\mathrm{d} k_\mathrm{B}T}{\sum_\mathrm{i}\,q_\mathrm{i}^2\,c_\mathrm{i}^0} },

où :

  • \varepsilon_\mathrm{d} = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r} est la permittivité diélectrique du solvant (\varepsilon_0 étant la permittivité diélectrique du vide, environ égale à 8,85.10^{-12} \text{ F/m}, et \varepsilon_\mathrm{r} la permittivité relative du solvant : dans l'eau à température ambiante \varepsilon_\mathrm{r} \approx 80) ;
  • T est la température exprimée en kelvins ; k_\mathrm{B} est la constante de Boltzmann, environ égale à 1,38.10^{-23} \text{ J/K}, qui relie température et énergie thermique ;
  • c_\mathrm{i}^0 est la concentration en ions de charge q_\mathrm{i} loin de la charge écrantée (là où le champ électrique est nul), exprimée en \mathrm{ions/m^3}.

Cette expression de la longueur de Debye apparait lors de la résolution de l'équation de Poisson-Boltzmann, qui décrit l'écrantage d'une charge par les (micro)ions dans une solution d'électrolyte.

Dans le cas d'un électrolyte monovalent comme le chlorure de sodium (NaCl, sel de cuisine) ou le chlorure de potassium (KCl) :

\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{ \frac{\varepsilon_\mathrm{d}\,k_\mathrm{B}T}{2 e^2 c_\mathrm{s}^0} },

c_\mathrm{s}^0 est la concentration en électrolyte de la solution, exprimée en \mathrm{ions/m^3}.


Lors des applications numériques, les concentrations en ions, généralement exprimées en \mathrm{mol/L}, doivent être converties en \mathrm{ions/m^3}; on utilise pour cela la formule suivante :

c (\mathrm{ions/m^3}) = c (\mathrm{mol/L}) \times N_\mathrm{A} \times 10^3,

N_\mathrm{A} est le nombre d'Avogadro.

Valeurs typiques[modifier | modifier le code]

Dans une solution aqueuse de sel monovalent (par exemple : sel de cuisine dissous dans de l'eau) à température ambiante (environ 20 °C), la longueur de Debye ne dépend plus que de la concentration en sel c_\mathrm{s}, exprimée en mol/L :

\lambda_\mathrm{D} = \frac{\text{0,3 nm}}{\sqrt{c_\mathrm{s} \mathrm{(mol/L)}}}.

La longueur de Debye diminue lorsque la concentration en sel augmente.

Dans l'eau pure (situation extrêmement difficile à réaliser expérimentalement), l'auto-dissociation de l'eau donne lieu à la présence d'ions \text{H}^+ et \text{OH}^-, avec une concentration de 10^{-7} \text{ mol/L} chacun. Ainsi, même dans la situation la plus idéale, le champ électrique sera écranté dans l'eau sur une distance de l'ordre de 700 nm, inférieure au micron. Pour des concentrations en sel significatives, la longueur de Debye varie de quelques dizaines de nanomètres à une fraction de nanomètre.

Références[modifier | modifier le code]

B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique Statistique, Hermann, 1989.

(en) R.J. Hunter, Foundations of Colloid Science [« Bases de science des colloïdes »], Oxford University Press, 2e éd., 2001.

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