Lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, ou lemme KKM, est un résultat de point fixe publié en 1929 par Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski et Stefan Mazurkiewicz^[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Lemme KKM : Si un simplexe Δ_m est réunion des ensembles fermés $C_{i}$ pour $i\in I=\{1,\dots ,m\}$ et que pour tout $I_{k}\subset I$ , la face de Δ_m engendrée par $e_{i}$ pour $i\in I_{k}$ est contenue dans la réunion des $C_{i}$ pour $i\in I_{k},$ alors les $C_{i}$ ont une intersection non vide.

Donnons une illustration dans le cas m = 3. Le simplexe Δ₃ est un triangle, de sommets numérotés 1, 2 et 3. Les hypothèses sont alors que le triangle est contenu dans la réunion des trois fermés $C_{1},C_{2},C_{3}$ , que le sommet i appartient à $C_{i}$ , que le côté 12 (allant du sommet 1 au sommet 2) est contenu dans la réunion de $C_{1}$ et $C_{2}$ , que le côté 23 est contenu dans la réunion de $C_{2}$ et $C_{3}$ , et que le côté 31 est contenu dans la réunion de $C_{3}$ et $C_{1}$ . Le lemme affirme que, dans ces conditions, les trois ensembles $C_{1},C_{2},C_{3}$ ont au moins un point en commun.

Le lemme KKM peut se démontrer à partir du lemme de Sperner, et permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer (auquel il est en fait équivalent).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma » (voir la liste des auteurs).

↑ (de) B. Knaster, C. Kuratowski et S. Mazurkiewicz, « Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe », dans Fund. Math., vol. 14, 1929, p. 132–137.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « KKM lemma », sur PlanetMath

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[1] (de) B. Knaster, C. Kuratowski et S. Mazurkiewicz, « Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe », dans Fund. Math., vol. 14, 1929, p. 132–137.

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