Inégalité de Sundman

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L'inégalité de Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste :

  • Avec le théorème du viriel :

, [notations ci-dessous]

elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.

Notations[modifier | modifier le code]

  • Le mass scalar product est utilisé :
  • Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (grâce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.
  • est le moment d'inertie par rapport à G.

La moitié de sa dérivée temporelle

  • Le théorème du viriel est :

est 2.E(cinétique) toujours positive  ; et , l'énergie gravitationnelle des N points, toujours négative.

Bien sûr, le Lagrangien est T- V.

L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ({y} est l'ensemble des quantités de mouvement)

  • Le moment cinétique orbital total est : = cste (isotropie d'espace)

L'inégalité conduit à :

, le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge (Leibniz 1689).

L'inégalité de Sundman[modifier | modifier le code]

Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :

On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate (resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la « déformation de la configuration » (par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit).

Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan[modifier | modifier le code]

On peut utiliser la notation ABC pour le triangle, et les formules usuelles des distances mutuelles ; on pose D = max(a, b, c) et d = min(a, b, c).

On déclare P(x) == (x-m1)(x-m2)(x-m3) == x^3- M.x^2+ P.x -M3^3

Il s'ensuit que :

Donc

et .

Soit :

Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne :

Et par conséquent jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.

Théorème de Jacobi[modifier | modifier le code]

Pour un système stable (les cercles périgée inf d(t) et apogée sup D(t) existent), Eo est négative. Démonstration : I" =4T + 2 V ⇒ viriel 2<T>=-<V> = -Eo/2 >0

et si Eo>0, le système est ouvert : D→infty : en effet I" >0. Démonstration : on utilise la fonction de Sundman (voir plus loin)

Attention : si Eo<0, cela n'implique pas que le système soit stable ! En effet, deux étoiles peuvent indéfiniment se rapprocher, et la troisième partir à l'infini doucement.

Théorème de Weierstrass (généralisé par Sundman)[modifier | modifier le code]

Il n'y a de collision triple stricte que si L = 0. Démonstration : pour avoir I(t0) =0, V(t0)= -infty, donc d'après le viriel I"(t) >0 près de to, donc I(t) décroit de manière monotone I'(t)<0 : alors l'inégalité de Sundman donne 2L^2 Ln[I(t1)/I(t)] < cste ; donc I(t) reste borné sauf si L=0

Fonction de Sundman[modifier | modifier le code]

On introduit par généralisation du problème à 2 corps les notations :

, appelé demi-grand axe, constant.

, appelé paramètre, constant.

, en gros la taille, variable.

, environ la petite taille, variable.

avec les inégalités usuelles de convexité :

(soit )


Le viriel devient :

La fonction de Sundman S(t) est :

L'inégalité de Sundman devient :

,

donc R varie comme S(t).

conséquences[modifier | modifier le code]

L'inégalité triangulaire s'écrit :

d'où , soit

D'autre part on en déduit , ce qui semble naturel, mais fait intervenir la décomposition d'Eckart des vitesses :

avec ,

donc en fait, ce n'est pas si simple à démontrer (les chimistes appellent ce référentiel tournant le référentiel d'Eckart ; en astronomie c'est le SAM de Saari).

le cas intéressant est celui dit de la binaire de Hill : si p>> a, le système tourne très vite à |énergie| faible, alors le système restera toujours une binaire serrée autour de laquelle tourne la troisième étoile (qui peut ou non s'échapper).

L'habitude veut que l'on représente les iso (R/r) qui ressemblent vaguement à la surface de Hill du problème restreint(m3<< m1 et m2), dans le référentiel où AB est pris comme axe des x, et C joue le rôle de troisième étoile ; mais cette représentation est un peu fallacieuse, car elle ne met pas en exergue le rôle symétrique des trois masses.

la description des destins par Chazy et Alexeev[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Sundman K.F., Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912)
  • scholarpedia : Three_Body_Problem

Voir aussi[modifier | modifier le code]