Inégalité de Sundman
L'inégalité de Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste :
- Avec le théorème du viriel :
, [notations ci-dessous]
elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.
Notations[modifier | modifier le code]
- Le mass scalar product est utilisé :
- Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (grâce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.
- est le moment d'inertie par rapport à G.
La moitié de sa dérivée temporelle
- Le théorème du viriel est :
où est 2.E(cinétique) toujours positive ; et , l'énergie gravitationnelle des N points, toujours négative.
Bien sûr, le Lagrangien est T- V.
L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ({y} est l'ensemble des quantités de mouvement)
- Le moment cinétique orbital total est : = cste (isotropie d'espace)
L'inégalité conduit à :
, le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge (Leibniz 1689).
L'inégalité de Sundman[modifier | modifier le code]
Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :
On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate (resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la « déformation de la configuration » (par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit).
Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan[modifier | modifier le code]
On peut utiliser la notation ABC pour le triangle, et les formules usuelles des distances mutuelles ; on pose D = max(a, b, c) et d = min(a, b, c).
On déclare P(x) == (x-m1)(x-m2)(x-m3) == x^3- M.x^2+ P.x -M3^3
Il s'ensuit que :
Donc
et .
Soit :
Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne :
Et par conséquent jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.
Théorème de Jacobi[modifier | modifier le code]
Pour un système stable (les cercles périgée inf d(t) et apogée sup D(t) existent), Eo est négative. Démonstration : I" =4T + 2 V ⇒ viriel 2<T>=-<V> = -Eo/2 >0
et si Eo>0, le système est ouvert : D→infty : en effet I" >0. Démonstration : on utilise la fonction de Sundman (voir plus loin)
Attention : si Eo<0, cela n'implique pas que le système soit stable ! En effet, deux étoiles peuvent indéfiniment se rapprocher, et la troisième partir à l'infini doucement.
Théorème de Weierstrass (généralisé par Sundman)[modifier | modifier le code]
Il n'y a de collision triple stricte que si L = 0. Démonstration : pour avoir I(t0) =0, V(t0)= -infty, donc d'après le viriel I"(t) >0 près de to, donc I(t) décroit de manière monotone I'(t)<0 : alors l'inégalité de Sundman donne 2L^2 Ln[I(t1)/I(t)] < cste ; donc I(t) reste borné sauf si L=0
Fonction de Sundman[modifier | modifier le code]
On introduit par généralisation du problème à 2 corps les notations :
, appelé demi-grand axe, constant.
, appelé paramètre, constant.
, en gros la taille, variable.
, environ la petite taille, variable.
avec les inégalités usuelles de convexité :
(soit )
Le viriel devient :
La fonction de Sundman S(t) est :
L'inégalité de Sundman devient : ⇒
,
donc R varie comme S(t).
conséquences[modifier | modifier le code]
L'inégalité triangulaire s'écrit :
d'où , soit
|
D'autre part on en déduit , ce qui semble naturel, mais fait intervenir la décomposition d'Eckart des vitesses :
avec ,
donc en fait, ce n'est pas si simple à démontrer (les chimistes appellent ce référentiel tournant le référentiel d'Eckart ; en astronomie c'est le SAM de Saari).
le cas intéressant est celui dit de la binaire de Hill : si p>> a, le système tourne très vite à |énergie| faible, alors le système restera toujours une binaire serrée autour de laquelle tourne la troisième étoile (qui peut ou non s'échapper).
L'habitude veut que l'on représente les iso (R/r) qui ressemblent vaguement à la surface de Hill du problème restreint(m3<< m1 et m2), dans le référentiel où AB est pris comme axe des x, et C joue le rôle de troisième étoile ; mais cette représentation est un peu fallacieuse, car elle ne met pas en exergue le rôle symétrique des trois masses.
la description des destins par Chazy et Alexeev[modifier | modifier le code]
Références[modifier | modifier le code]
- Sundman K.F., Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912)
- scholarpedia : Three_Body_Problem
- Marchal : the three body problem, Elsevier1990, (ISBN 0-444-87440-2)
- Saari : CMBS 104, AMS 2005, (ISBN 0-8218-3250-6)
- AKN : Celestial mechanics, Springer 1997, (ISBN 3-540-61224-6)