Graphe de Franklin

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Graphe de Franklin
Image illustrative de l'article Graphe de Franklin
Représentation du graphe de Franklin.

Nombre de sommets 12
Nombre d'arêtes 18
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 3
Diamètre 3
Maille 4
Automorphismes 48 (Z/2Z×S4)
Nombre chromatique 2
Indice chromatique 3
Propriétés Cubique
Hamiltonien
Biparti
Sans triangle
Parfait
Sommet-transitif

Le graphe de Franklin est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 12 sommets et 18 arêtes.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe de Franklin, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Franklin est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal (il n'existe bien sûr pas de 1-coloration valide du graphe).

L'indice chromatique du graphe de Franklin est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2 et est de degré 12. Il est égal à :

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Franklin est un groupe d'ordre 48 isomorphe à Z/2Z×S4, le produit direct du groupe symétrique S4 et du groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Franklin est

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Franklin Graph », MathWorld