Polynôme chromatique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, plus particulièrement en théorie des graphes, le polynôme chromatique d'un graphe est une fonction comptant les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction polynômiale dépendant du nombre de couleurs autorisées. Il a été introduit d'abord en 1912 pour les graphes planaires, par George David Birkhoff, qui cherchait à démontrer le théorème des quatre couleurs[1].

Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs au nombre chromatique du graphe et a pour degré l'ordre du graphe.

Le polynôme chromatique d'un graphe est un invariant, c'est-à-dire une propriété dépendant uniquement de sa structure et indépendante de son étiquetage. Autrement dit, deux graphes isomorphes auront le même polynôme chromatique.

Le terme de chromatiquement équivalent est employé pour désigner des graphes ayant le même polynôme chromatique. À l'opposé, un graphe chromatiquement unique est déterminé par son polynôme chromatique.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G un graphe ayant n sommets. Notant c_G(k) le nombre de colorations des sommets de G avec k couleurs (distinctes), le polynôme chromatique de G, P_G, est défini comme étant l'unique polynôme d'interpolation de degré n tel que, pour tout k avec 0\le k\le n, on ait P_G(k)=c_G(k). On a en particulier, pour tout graphe ayant plus d'un sommet, P_G(0)=P_G(1)=0, et plus précisément, le nombre chromatique de g est le plus petit entier qui n'est pas une racine de P_G.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les 3 graphes avec un polynôme chromatique égal à
(x-2)(x-1)^3 x
Exemples de polynômes chromatiques
Triangle K_3 t(t-1)(t-2)
Graphe complet K_n t(t-1)(t-2) \dots (t-(n-1))
Arbre avec n sommets t(t-1)^{n-1}
Graphe cycle C_n (t-1)^n+(-1)^n(t-1)
Graphe de Petersen t(t-1)(t-2)(t^7-12t^6+67t^5-230t^4+529t^3-814t^2+775t-352)
Graphe singleton t
  • Le graphe diamant est chromatiquement unique : c'est le seul graphe à avoir (x-2)^2 (x-1) x comme polynôme chromatique.
  • Il existe deux graphes chromatiquement équivalents au graphe taureau. L'un d'eux est le graphe criquet.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) G. D. Birkhoff, « A Determinant Formula for the Number of Ways of Coloring a Map », Ann. Math., vol. 14,‎ 1912, p. 42-46

Liens externes[modifier | modifier le code]