E (nombre)

La constante mathématique $e$ (parfois appelée constante de Néper du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 .....

e est égal à exp(1) où exp est la fonction exponentielle et est ainsi égal à la limite :

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

et peut être aussi écrit comme une somme de série

$e={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

Ici $n!$ représente la factorielle de $n$.

Le nombre e présente un intérêt parce que l'on peut montrer que

pour tout réel x, $exp(x)=e^{x}$ (e à la puissance x);

donc par exemple, on a :

$\exp(3)=e\times e\times e=e^{3}$ ou encore

$\exp(-4)={\frac {1}{e}}\times {\frac {1}{e}}\times {\frac {1}{e}}\times {\frac {1}{e}}=\left({\frac {1}{e}}\right)^{4}=e^{-4}$

Le nombre e est un nombre irrationnel et même transcendant. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873.

Il a été conjecturé que e était un nombre normal ou aléatoire.

Il intervient (avec quelques autres constantes fondamentales) dans l'identité d'Euler :

$e^{i\pi }+1=0$

Le développement en fraction continue de $e$ s'écrit sous la forme intéressante :

$e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {2}{3+{\frac {3}{4+{\frac {4}{\ldots }}}}}}}}}}$

$e=1+{\frac {2}{1+{\frac {1}{6+{\frac {1}{10+\ldots {\frac {1}{2(2n+1)}}}}}}}}$