Générateur infinitésimal

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Un générateur infinitésimal est un outil de calcul stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu[modifier | modifier le code]

  • Soit le processus stochastique à temps continu et à états discrets.
    • Soit la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :

      ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
      De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
    • On notera la probabilité que partant de l'état à un instant , on soit dans à l'instant . C'est-à-dire :
Les fonctions sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et ont la propriété :
Pour tout i, (c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)
Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.

Notes et références[modifier | modifier le code]