Formule de Tanaka

En calcul stochastique, la formule de Tanaka s'écrit :

$|B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}$

où B_t est un mouvement brownien standard, sgn désigne la fonction signe :

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}$

et L_t est le temps local (en) en 0 du mouvement brownien B (le temps local passé par B en 0 jusqu'au temps t). Celui-ci est donné par la limite dans L² suivante :

$L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.$

La formule de Tanaka correspond à la décomposition de Doob–Meyer explicite de la sous-martingale |B_t| en sa partie martingale (l'intégrale du membre de droite), et son processus croissant continu (le temps local). On peut aussi voir cette formule comme une analogue du lemme d'Itô pour la fonction valeur absolue (qui n'est pas régulière) $f(x)=|x|$, avec $f'(x)=\operatorname {sgn}(x)$ et $f''(x)=2\delta (x)$.

Plan de la preuve

La fonction |x| n'est pas de classe C² en x = 0, donc il n'est pas possible d'appliquer le lemme d'Itô directement. Mais si on approxime cette fonction au voisinage de 0 (i.e. sur l'intervalle[−ε, ε]) par des polynômes :

${\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}},$

on peut alors utiliser le lemme d'Itô et prendre la limite lorsque ε → 0, pour obtenir la formule de Tanaka.

Références

• Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Berlin, Springer, 2003 (Example 5.3.2)
• Albert N. Shiryaev, trans. N. Kruzhilin, Essentials of stochastic finance: Facts, models, theory, River Edge, NJ, World Scientific Publishing Co. Inc., coll. « Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability No. 3 », 1999

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tanaka's formula » (voir la liste des auteurs).