Formule de Cauchy pour l'intégration successive

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La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notamment utilisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire[modifier | modifier le code]

Soit ƒ une fonction réelle continue. La nième primitive de ƒ est :

f^{[n]}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm d\sigma_{n} \cdots \, \mathrm d\sigma_2 \, \mathrm d\sigma_1,

La version condensée en une seule intégrale est :

f^{[n]}(x) = \frac1{(n-1)!} \int_a^x\left(x-y\right)^{n-1} f(y)\,\mathrm dy.

Une preuve peut être donnée par récurrence. Puisque ƒ est continue, l'initialisation est évidente :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f^{[1]}(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f(y)\,\mathrm dy = f(x).

Quelques calculs nous amènent à :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f^{[n]}(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1{(n-1)!} \int_a^x \left(x-y\right)^{n-1} f(y) \, \mathrm dy = f^{[n-1]}(x).

Donc ƒ[n](x) est bien la nième primitive de ƒ.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall,‎ 2002 (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge,‎ 2000