Formule de Cauchy pour l'intégration successive

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La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notamment utilisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire[modifier | modifier le code]

Soit ƒ une fonction réelle continue. La nième primitive de ƒ est :

La version condensée en une seule intégrale est :

Une preuve peut être donnée par récurrence. Puisque ƒ est continue, l'initialisation est évidente :

Quelques calculs nous amènent à :

Donc ƒ[n](x) est bien la nième primitive de ƒ.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall, (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge,‎