Fonction univalente
En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.
Exemples[modifier | modifier le code]
Toute transformation de Möbius d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, où est univalente.
Propriétés[modifier | modifier le code]
On peut démontrer que si et sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et
est une fonction univalente tel que (c'est-à-dire que est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de , notée , est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,
pour tous dans
Comparaison avec les fonctions réelles[modifier | modifier le code]
Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction
donnée par ƒ(x) = x3, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier (−1, 1).
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 (ISBN 0-387-90328-3)
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 (ISBN 0-387-94460-5).
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Univalent function » (voir la liste des auteurs).