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Fonction H de Chandrasekhar

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La fonction H de Chandrasekhar est utilisée pour la résolution du problème de transfert radiatif unidimensionnel dans un milieu absorbant et diffusant. Elle est définie par une équation intégrale établie par Viktor Ambartsumian et Subrahmanyan Chandrasekhar[1].

Définition

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Fonction H pour diverses valeurs de l'albédo.

La fonction introduite par Subrahmanyan Chandrasekhar est généralement définie par l'équation intégrale établie par Viktor Ambartsumian

est une fonction caractéristique décrivant la diffusion dans le milieu. C'est un polynôme pair satisfaisant

Le cas correspondant à la limite haute est dit conservatif (il conserve la densité de flux d'énergie).

L'isotropie correspond à

est l'albédo, constant. correspond au cas de la diffusion pure.

Une définition équivalente plus utilisée pour l'évaluation numérique s'écrit

Dans le cas conservatif le premier terme de l'équation ci-dessus s'annule.

Propriétés

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Dans le cas conservatif cette équation se réduit à
Dans le cas conservatif cette équation se réduit à
.
  • Pour une fonction caractéristique correspondante à la diffusion Thomson ou Rayleigh sont deux constantes satisfaisant et si on définit le moment d'ordre par alors

et

Solution dans le plan complexe

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En utilisant la variable complexe l'équation de définition de H s'écrit

Dans le plan la solution est

où la partie imaginaire de s'annule si est réel, c'est-à-dire si . On a alors

Dans le cas conservatif la solution est unique. Dans le cas contraire admet les racines . Il existe donc une solution donnée par

Approximation

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Le développement suivant particulièrement connu car il est à la base de la méthode SN

où les sont les racines des polynômes de Legendre et les les solutions strictement positives de l'équation caractéristique

Les sont les poids de la quadrature donnés par

D'une façon générale il existe diverses méthodes pour le calcul numérique des fonctions H[2],[3].

Références

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  1. (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Radiative transfer, Dover Publications, (ISBN 0486-6059-06, lire en ligne)
  2. Rabindra Nath Das et Rasajit Kumar Bera, « Numerical evaluation of Chandrasekhar’s H-function, its first and second differential coefficients, its pole and moments from the new form for plane parallel scattering atmosphere in radiative transfer », sur ArXiv
  3. (en) P. B. Bosma et W. A. de Rooij, « Efficient Methods to Calculate Chandrasekhar's H-Functions », Astronomy and Astrophysics, vol. 126,‎ , p. 283-292 (lire en ligne)

Liens externes

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