Facteur de forme (physique)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Ce modèle est-il pertinent ? Cliquez pour en voir d'autres.
L'introduction de cet article est soit absente, soit non conforme aux conventions de Wikipédia (mai 2016).

Ces motifs sont peut-être précisés sur la page de discussion. — Découvrez comment faire pour en améliorer la rédaction.

Le calcul du rayonnement entre deux surfaces, dans un milieu non participatif (pas d'émission, d'absorption ou de diffusion) nécessite

  • la caractérisation de l'émission de cette surface, et s'il s'agit d'une émission thermique, de son émissivité ;
  • la caractérisation de la luminance réémise quand elle reçoit une luminance donnée, c'est la fonction de répartition de la réflectance, plus couramment désignée par son acronyme anglais BRDF (Bidirectional reflectance distribution function) ;
  • la caractérisation géométrique des échanges dans le milieu.

Dans le cas où le rayonnement des surfaces est isotrope ("lambertien") la géométrie suffit à définir la fraction de la luminance émise par une surface et reçue par une autre surface. Cette quantité est le facteur de forme.

Ce type de problème se rencontre dans les transferts thermiques[1],[2] ou le rendu en génération d'images de synthèse[3].

Quantités caractérisant le rayonnement[modifier | modifier le code]

Définition de la luminance

Pour caractériser le transfert de rayonnement on utilise :

  • la luminance spectrale (par unité de fréquence, en  J⋅m-2⋅sr-1) L_\nu définie comme la quantité d'énergie radiative d\mathcal{E}_\nu contenue dans un intervalle spectral d\nu, dans un angle solide d\Omega, traversant l'aire élémentaire d\sigma=dScos\theta durant le temps dt
d\mathcal{E}_\nu=L_\nu d\sigma d\nu d\Omega dt
  • Le flux (emittance ou exitance, en  J⋅m-2⋅sr-1) spectral émis par la surface dS dans l'angle solide d\Omega
dM_\nu=L_\nu d\sigma d\Omega

On peut également utiliser les quantités correspondantes rapportées à la longueur d'onde au lieu de la fréquence.

Définition du facteur de forme[modifier | modifier le code]

Aspect local[modifier | modifier le code]

Description géométrique du problème

Deux surfaces élémentaires dS_i et dS_j distantes de r_{ij} échangent du rayonnement. Le flux spectral reçu par dS_j est

dM_{\nu_j}=L_{\nu_i}dS_icos\theta_i d\Omega_{ij}

d\Omega_{ij}=\frac{dS_j cos\theta_j}{r_{ij}^2} est l'angle solide sous lequel on voir dS_j depuis dS_i. Par suite on peut écrire

dM_{\nu_j}=L_{\nu_i}f_{ij}dS_idS_j

avec

f_{ij}=\frac{cos\theta_icos\theta_j}{r_{ij}^2}

Cette quantité caractérise entièrement la géométrie de manière immédiatement utilisable pour le calcul des échanges radiatifs.

On a évidemment f_{ii}=0 et par symétrie f_{ji}=f_{ij}.

Aspect intégral[modifier | modifier le code]

Soient S_i, S_j des surfaces quelconques.

Le flux spectral reçu de la surface S_i par la surface S_j s'écrit

M_{\nu_j}=\int_{S_i}L_{\nu_i}\int_{S_j}f_{ij}dS_jdS_i

Si l'émission est isotrope la loi de Lambert permet d'écrire le flux spectral sous la forme M_{\nu_i}=\pi L_{\nu_i}. Si de plus on considère cette quantité constante sur la surface S_i on a

M_{\nu_j}=\frac{M_{\nu_i}}{\pi}\int_{S_i}\int_{S_j}f_{ij}dS_jdS_i=M_{\nu_i}S_iF_{ij}

F_{ij}=\frac{1}{\pi S_i}\int_{S_i}\int_{S_j}f_{ij}dS_jdS_i

est appelé facteur de forme (en anglais "view factor"). Il représente la fraction de l'énergie émise par S_i arrivant sur S_j.

Du fait des hypothèses faites, cette notion n'est valide que dans un domaine limité. Elle a dans ce domaine l'avantage de permettre des calculs analytiques sur un grand nombre de configurations géométriques simples[2],[4].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • F_{ii}=0 dans le cas de géométries planes ou convexes mais F_{ii}> 0 pour une partie concave.
  • Puisque f_{ji}=f_{ij} on déduit de l'expression ci-dessus un principe de réciprocité
S_jF_{ji}=S_iF_{ij}
  • De la définition on déduit très facilement une relation d'additivité utilisable pour les géométries simples[2]
F_{i(j+k)}=F_{ij}+F_{ik}

Une formulation équivalente[modifier | modifier le code]

Quel que soit le mode de description d'une surface, celle-ci dépend de deux variables. L'expression du facteur de forme ci-dessus est donc une intégrale quadruple. On peut réduire cette dimension en utilisant le théorème de Stokes. Soient (C_i, C_j) les contours de (S_i, S_j), (dc_i, dc_j) les éléments de ces lignes et c_{ij} la distance entre ces éléments, alors le facteur de forme s'écrit comme une intégrale de bord[2]

F_{ij}=\frac{1}{2\pi S_i}\int_{C_i}\int_{C_j}log~c_{ij}dc_jdc_i

On a réduit l'expression à une intégrale double dont le calcul est plus simple.

Calcul numérique des facteurs de forme[modifier | modifier le code]

L'étape importante lorsque l'on utilise la première expression du facteur de forme est le calcul de l'angle solide d\Omega_{ij}. La méthode de lancer de rayon est utilisable mais coûteuse et peu précise comme toute méthode stochastique. Toutefois elle résout simplement le problème des parties cachées. Pour le calcul des facteurs de forme proprement dit le calcul analytique est préférable. Lorsque la vitesse de calcul est importante, par exemple pour la génération d'images, on peut utiliser une méthode approchée utilisant des hémicubes.

Code de calcul en libre accès[modifier | modifier le code]

  • View3D, Calculation of view factors between simple polygons.
  • Syrthes, Logiciel généraliste de thermique pour la résolution numérique de la conduction et du rayonnement en milieu transparent.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Michael M. Modest, Radiative Heat Transfer, Academic Press, 2003 (ISBN 0-12-503163-7)
  2. a, b, c et d (en) John R. Howell, M. Pinar Menguç, Robert Siegel, Thermal Radiation Heat Transfer, CRC Press, 2010 (ISBN 1-43-980533-4)
  3. (en) Jeffrey J. McConnell, Anthony Ralston, Edwin D. Reilly, David Hemmendinger, Computer Graphics Companion, Wiley, 2002 (ISBN 978-0-470-86516-3)
  4. (en) John R. Howell, « A Catalog of Radiation Heat Transfer Configuration Factors »