Discussion:Triangles semblables

on sait que les triangle sont semblable quant 2 angles sont egaux 2 a 2 3 cote sont proportionnel egaux 2 a 2

Une info à recycler ?

"Il est remarquable que dans le plan hyperbolique, on ait le théorème suivant : si deux triangles ont leurs angles égaux, alors ils sont isométriques. Par contre, les théorèmes ci-dessus ne sont pas tous vrais." a été enlevé aujourd'hui. C'est (peut-être) hors sujet ici, mais il serait (peut-être) intéressant de le coller ailleurs ... Anne Bauval (d) 31 janvier 2010 à 21:44 (CET)

La définition et les caractérisations

J'ai précisé la définition qui n'était pas complète avant et j'ai remplacé aussi les méthodes :

• Le théorème de Tales est prouvé grâce à la définition et aux caratérisations des triangles semblables. Donc on ne peut pas l'utiliser ici, parce que dans la géométrie eucledien on ne peut pas prouver un théorème par un autre qui lui, n'était pas encore prouvé.
• Je les ai mises dans bon ordre et les ai reformulées.
• La 4 preuve ce n'est pas une preuve c'est une définition.

Comme je ne suis pas française, il se peut qu'il y a des fautes de français. Cassiopella (d) 24 décembre 2010 à 14:33 (CET)

Les fautes de français ne sont pas un problème d'autant plus qu'elles sont peu nombreuses (je voudrais bien savoir parler une langue étrangère aussi bien). En revanche je ne suis pas tout-à-fait d'accord avec la nouvelle version. La disparition du lien avec la similitude est gênant. La définition ne correspond pas à ce qui me semble correspondre à la similitude, c'est à dire la conservation du rapport des distances (une source serait utile pour nous départager). La conservation du rapport des distance permet de déduire la conservation du produit scalaire puis la conservation des angles etc. Donc on peut partir de l'un ou l'autre des caractérisations mais démontrer les autres et il n'y a a donc pas d'ordre privilégié. Je suis d'accord en revanche avec la disparition de l'allusion à Thalès, mais il serait intéressant de signaler un autre cas particulier de triangles semblables : le cas des triangles homothétiques. HB (d) 24 décembre 2010 à 15:37 (CET)

J'ai ajouté le lien vers similtitude, mais je n'arrive pas à faire la phrase. En géométrie euclidienne on parle de similtitude des figures ou plus simplement des figures semblables (c'est absolument la même chose). Les triangles en font partie. Ici il ne s'agit pas de distance. Par exemle prennez 2 rectangles similaires - en stériométrie (géométrie euclidienne dans l'espace dim(3)) et planométrie(dim(2) - donc les figures dans le plan) ils peuvent être disposer de n'importe quelle façon et même se couper. Les distances n'ont pas d'importance. C'est l'homothétie qui parle des distances entre les figures semblables. Et dans ce cas les côtés et les sommets des angles similaires sont tous à la même distance. Donc les triangles homothétiques c'est un cas particulier des triangles semblables.

En ce qui concerne la preuve des caractérisations des triangles semblables - ce que vous écrivez n'a rien à avoir avec la géométrie euclidienne. La géométrie d'euclide se construit:

1. En planométrie sur 3 (ou 5 - selon differentes sources) axiomes qu'on ne prouve pas. On suppose qu'elles sont vraies. Stériométrie se base sur 7 axiomes + les axiomes de planométrie.
2. Le premier théorème on prouve se basant uniquement sur les axiomes, le deuxième sur les axiomes et le théorème qu'on a déjà prouvé, le troisième sur les axiomes et les deux théorèmes... ainsi de suite.
3. On arrive jusqu'à la théorème de similtitude des figures, qui dit que les figures similaires sont celles qui ont les mêmes angles, les mêmes rapports entre les cotés et les rapports spécifiques pour les aires etc. On prouve tout cela, je le ferai pas ici, parce que c'est très long. Quand c'est prouvé, on sait que les triangles similaire ont les mêmes angles, les mêmes rapports des côtés etc. Si on a tous les données, on peut tout de suite conclure si les triangles sont similaires. Mais le problèmes qu'on n'a pas toujours toutes les données. Donc les méthodes de preuves (ou caractérisation) nous aide à prouver que les triangles sont similaires. Mais avant les utiliser il faut les prouver! C'est absolument la même méthode que pour les triangles égaux.
4. On part du premier, parce que tant qu'il n'est pas prouvé il est impossible de prouver les deux autres en géométrie d'euclide. Donc le premier dis que si les 2 angles d'un triangle sont égaux à 2 angles de l'autre triangle, alors ce sonts des triangles semblables. Donc il faut prouver que les 3 angles sont égaux (c'est facile: dans 1 triangle la somme des angles = 180 degrès) et que les côtés sont proportionnels (grace au théorème de proportionalité des aires des triangles qui ont un angle égale, ce théorème était déjà prouvé).
5. Maitenant on peut prouver le deuxième si les 2 côtés d'un triangle sont proportionnels par rapport à 2 côtés d'un autre triangle et les angles entre ces 2 côtés sont égaux. On a ∆ABC et ∆A'B'C', AB/A'B'=AC/A'C', angle CAB=C'A'B', on rajoute le point C² de façon que l'angle BAC²= angle B'A'C' et angle ABC²=A'B'C'. Grace à la premiere méthode on conclue que ∆ABC² ≈ ∆A'B'C'. Donc AB/A'B'=AC²/A'C'. Comme AC/A'C' on déduit que AC=AC² et on conclu que ∆ABC=∆ABC², puis que angleABC=A'B'C'. Donc les triangles sont pareil.
6. A la fin on prouve la 3 caractérisation: On a ∆ABC et ∆A'B'C', AB/A'B'=AC/A'C'=CB/C'B', on veut prouver que les triangles sont pareils. On le fait en utilisant la première caractérisation des triangles pareilles et la troisième des triangles égaux en ajoutant encore une fois le point C².

Si vous voulez une source, j'essayerai de trouver en français, mais c'est compliqué parce que on a abondonné depuis plusieures plusieures décénnies l'étude de géométrie d'euclide au collège et lycée (ou plutôt l'approche d'euclide), en université on traite rarement ce sujet, vue que les mathématitiens français travaillent sur autres parties des mathématiques. Cassiopella (d) 24 décembre 2010 à 21:11 (CET)

Je n'ai pas du être assez claire dans mes objections car visiblement vous ne les avez pas comprise.:

1. je n'ai jamais parlé de la distance séparant les deux objets. J'ai dit qu'une similitude conservait le rapport des distances. Ce qui signifie qu'il existe une constante k tel que, pour tous points M et N distincts, dont les images sont M' et N', on a M'N'/MN=k et cette propriété est suffisante pour dire qu'une transformation est une similitude.
2. je n'ai jamais dit qu'il était impossible de prouver les caractérisations dans l'ordre que vous donnez - merci cependant d'avoir pris le temps d'en détailler les étapes. J'ai seulement dit que ce n'était pas l'unique démarche. Il est possible, et ce doit être facile à vérifier, que ce soit la démarche d'Euclide mais la géométrie euclidienne est maintenant souvent définie, non plus par les axiomes d'Euclide mais par le produit scalaire. En ce cas, il existe d'autres moyens de démontrer l'équivalence des différentes caractérisations.

Juste en guise d'illustration : si on suppose qu'il existe un réel k tel que A'B'=kAB, A'C'=kAC et C'B'=kBC alors on a immédiatement $cos(B'A'C)={\frac {A'B'^{2}+A'C'^{2}-B'C'^{2}}{2\times A'B'\times A'C'}}={\frac {AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}}=cos(BAC)$ et donc des angles égaux.

Mais ce petit article ne mérite pas une aussi longue discussion. Je tente une modération et explique plus en détail le lien avec la similitude. HB (d) 25 décembre 2010 à 11:23 (CET)

Merci beaucoup, je n'ai pas pensé au théorème de cosinus (Théorème d'Al-Kashi en français?). Vous avez raison, ici l'ordre n'a pas d'imporatnace. Et c'est tout à fait la viellle géométrie d'Euclide. Selement il faut être rigureux (même si l'affirmation est évidente, il faut la prouver):

1. On vérifie de quel façon est prouvé le théorème d'Al-Kashi, pour vérifier qu'il n'y a pas de lien avec le théorème de similtitude.
2. $cos(B'A'C)={\frac {A'B'^{2}+A'C'^{2}-B'C'^{2}}{2\times A'B'\times A'C'}}={\frac {k^{2}AB^{2}+k^{2}AC^{2}-k^{2}BC^{2}}{2\times kAB\times kAC}}={\frac {AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}}=cos(BAC)$
3. De même pour les autres sommets en cocnluant que les 2 triangles présentes bien tous les propriétés des triangles semblables.

Voilà. Cassiopella (d) 26 décembre 2010 à 16:57 (CET)

Transfert de ma PdD + réponse

Je transfère ci-dessous un message reçu sur ma pdd, et je réponds à la suite. Anne Bauval (d) 26 décembre 2010 à 18:23 (CET)

Bonjour, hier vous avez retabli l'ancien page, sans toutefois regarder la page de discussion de l'article. Afin d'éviter la gerre des corrections je vous écris ici. Pourriez vous lire la page de discussion? Pour le lien que vous avez ajouté qui "prouve" que triangles sont semblables s'ils ont des côtés proportionnels. Si on est bon en géométrie,on sent que cette phrase est incomplète. En plus tapant "définition triangles semblables" on trouve beaucoup d'infromation et d'explication pourquoi les angles sont si importants. Caractérisations équivalentes - tel que vous l'avez écrit cela n'a aucun sens géométrique (explication sur la page de discussion). Deux triangles sont semblables s'il existe une similitude transformant l'un en l'autre - c'est la définition des triangles semblables, on peut dire les triangles égaux sont égaux, s'ils sont égaux, mais quelle est l'utilité de cette phrase?. Cassiopella (d) 26 décembre 2010 à 16:10 (CET)

Bonjour, j'ai au contraire lu attentivement, au fur et à mesure, chacune des modifs récentes, à la fois ici et dans l'article, mais je m'étais abstenue d'intervenir jusqu'à présent. Je n'ai pas du tout rétabli l'ancienne page, j'ai retravaillé la dernière version en date, et ajouté deux premières sources. Je suis d'accord avec HB sur le fait que le choix, parmi les 4 définitions actuellement présentes, de laquelle on met en premier, est arbitraire. J'ai donc laissé en premier celle qui y était mais en supprimant la redondance, puisqu'il suffit que les côtés soient proportionnels (la déf de l'intro est elliptique, mais précisée par une formule dans le développement) pour que les angles soient égaux. Si on prend cela comme définition, on est bien obligés de mentionner que c'est équivalent à la définition "moderne" par les similitudes. Cette équivalence est facile à démontrer mais ne va pas de soi, surtout pour les lecteurs potentiels de cet article, qui ne sont pas a priori ceux qui connaissent cette notion. Anne Bauval (d) 26 décembre 2010 à 18:23 (CET)

Justement, le problème vient du fait que vous n'avez pas lu. Vous mélanger la définition avec des théorèmes (3 caractérisations) qu'on utilise quand les données sont incomplètes. Par example on a ∆ABC avec un angle droit, en utilisant la définition d'un triangle réctangle, on dit que ∆ABC - rectangle. Par contre si on a ∆ABC avec deux angles qui mésurent 40° et 50°, on ne peut pas tout de suite dire, que ∆ABC est rectangle. On le prouve en utilisant le théorème "la somme des angles dans un triangle = 180°". On en déduit qu'il y a un angle droit, donc ∆ABC - rectangle. Ici c'est la même chose. J'ai appelé les théorèmes "caractérisations" en regardant comment on appelle les 3 théorèmes d'égalité des triangles, peut-être il ne fallait pas le faire. Comme il y a beaucoup de différentes sources en français, je corrige l'information et j'ajoute les liens. Et j'enlève la phrase Deux triangles sont semblables s'il existe une similitude transformant l'un en l'autre. (Dans le plan, lorsque deux triangles sont semblables, il existe une unique similitude plane qui transforme l'un en l'autre.) - c'est la définition qui est déjà donnée plus haut et n'a rien à faire à coté des théorèmes qui aident à prouver que les triangles sont semblables, quand il y a des informations manquantes. Comme vous voulez avoir cette phrase dans l'article, je l'ajouterai. C'est un article dans l'encyclopédie, donc il faut être rigureux. Cassiopella (d) 26 décembre 2010 à 19:33 (CET)

Finalement je n'ai pas ajouté l'information basée sur votre dernier lien, parce qu'il s'agit d'un exercice. Cassiopella (d) 26 décembre 2010 à 20:38 (CET)

ouh là là! Ce n'est jamais bon de prendre de haut les autres contributeurs (vous n'avez pas lu (sic), il faut être rigureux (resic)...???) D'une part, cela ne favorise pas le dialogue, d'autre part, on peut se rendre ridicule quand ces reproches s'adressent à deux professeurs dont un universitaire...

Voila pour la forme. En ce qui concerne le fond, il n'est pas logique et pas très pratique dans le domaine des mathématiques de prendre pour définition des conditions redondantes demandant de multiples vérifications (c'est justement ce qu'explique l'ouvrage de Desoer[1] mis en référence dans la version actuelle de l'article (3 janvier 2011) pour justifier à mauvais escient la définition donnée). Ainsi, on ne définit par le rectangle comme un quadrilatère plan possédant 4 angles droits, des côtés parallèles deux à deux, des diagonales de même milieu et de même longueur. On choisit une propriété caractéristique comme définition et on démontre qu'il existe d'autres caractérisations possibles. Pour présenter les triangles semblables dans une ouvrages de maths, l'option d'Anne Bauval était la plus logique. Si l'on est pas d'accord sur le choix de la propriété caractéristique, on peut être bourbakiste et énoncer "Théorème et définition : Soient ABC et A'B'C' deux triangles, les propriétés suivantes sont équivalentes... (énoncé des propriétés).... deux triangles ayant ces propriétés sont appelés triangles semblables". Pourquoi cependant n'ai-je pas jugé bon de choisir cette tournure ? et pourquoi ne reviendrai-je pas sur la version d'Anne ? Parce qu'il me semble que, dans une encyclopédie, on peut "présenter" les triangles semblables au lieu de les "définir" et que dans une présentation, on peut tout-à-fait faire un tour des propriétés qui permettent de bien visualiser la notion. On peut même aller plus loin et dire que des triangles semblables sont des triangles de "même forme" les angles de l'un sont égaux aux angles de l'autre, les côtés de l'un sont proportionnels aux côtés de l'autre. Je propose cependant de faire sauter la section définition (ce n'est pas une bonne définition - voir Desoer), de rapidement donner les 3 caractérisations en expliquant que n'importe laquelle d'entre elles peut servir de définition (et sourcer par des ouvrages). Je propose ausside remettre la remarque que des triangles semblables peuvent être définis à l'aide des similitudes. Maintenant, mon opinion est discutable et je suis prête à accepter toute version cohérente.HB (d) 3 janvier 2011 à 18:52 (CET)