Discussion:Rang d'un groupe

Cas d'un p-groupe nilpotent

L'article contient cette phase :

• Le rang d'un p-groupe nilpotent est égal à la dimension du F_p-espace vectoriel que constitue son quotient de Frattini.

Ne faut-il ps ajouter l'hypothèse que le groupe en question ou son sous-groupe de Frattini est de type fini ? Il me semble qu'un p-groupe de Prüfer G est un contre-exemple : il est commutatif, donc nilpotent; comme c'est un groupe abélien divisible, il n'a pas d'idéal maximal, donc son sous-groupe de Frattini est G tout entier, donc le quotient de Frattini de G est trivial, donc la dimension du quotient de Frattini est nulle et n'est donc pas égale au rang de G. Marvoir (d) 26 novembre 2012 à 16:20 (CET)

Tu as raison, et tu aurais pu rectifier toi-même. Merci, j'y cours (mais je ne touche pas à la V.O., qui est encore plus fausse). Anne (d) 26 novembre 2012 à 17:40 (CET)

Merci d'avoir cette fois rectifié toi-même ma nouvelle bourde. Les anneaux sur lesquels le rang d'un module libre est égal à son rang comme groupe sont-ils les ℤ/nℤ ? (ça inclurait ℤ et F_p et en ajouterait d'autres). Anne (d) 28 novembre 2012 à 10:01 (CET)

J'ai l'impression que la réponse est oui. Tout d'abord, il me semble que pour tout module libre M sur l'anneau ℤ/nℤ, le cardinal de n'importe quelle base de ce module (elles ont toutes le même cardinal, puisque l'anneau est commutatif) est égal au rang de M comme groupe. Voici une justification. Puisque l'homomorphisme canonique de ℤ dans ℤ/nℤ est surjectif, une partie de M engendre M comme ℤ/nℤ - module si et seulement elle l'engendre comme groupe. Pour prouver que le rang de M comme groupe est égal au cardinal des bases de M comme ℤ/nℤ - module, il suffit donc de prouver que toute partie génératrice du ℤ/nℤ - module M a un cardinal au moins égal au cardinal des bases de ce ℤ/nℤ - module. Cela me semble résulter d'un énoncé démontré dans notre article Module_libre#Rang d'un module libre sur un anneau commutatif ou noethérien, à savoir :

• Si M $\to$ N est une application linéaire surjective entre deux modules libres, alors le rang de M est supérieur ou égal à celui de N (en effet on a alors une application linéaire surjective d'espaces vectoriels M/PM $\to$ N/PN).

Si X est une partie génératrice du ℤ/nℤ - module M, il y a un homomorphisme surjectif du ℤ/nℤ - module libre (ℤ/nℤ)^(X) sur M, donc l'énoncé qui précède entraîne que le cardinal de X est supérieur ou égal à celui des bases de M sur ℤ/nℤ, comme annoncé.

Si A est un anneau distinct de son "sous-anneau premier" (autrement dit, de son plus petit sous-anneau, autrement dit de l'image canonique de Z dans A), alors A est de rang 1 comme A-module (à supposer que ce rang soit défini) mais n'est pas de rang 1 comme groupe, car il n'est pas monogène comme groupe. En effet, supposons que x engendre le groupe additif de A. Alors il existe un entier rationnel c tel que 1 = cx, d'où c²x² = 1. D'autre part, toujours parce que x engendre le groupe, il existe un entier rationnel n tel que x² = nx, d'où cx² = ncx = n, d'où c²x² = nc, autrement dit nc = 1 dans A , donc la relation 1 = cx entraîne x = n dans A, donc, puisque x engendre le groupe, A est contenu dans son plus petit sous-anneau, ce qui est contraire aux hypothèses. (Édité.) Marvoir (d) 28 novembre 2012 à 13:17 (CET)

Merci beaucoup, ça répond complètement à ma question (je ne pensais qu'aux anneaux commutatifs). J'ai bien envie de résumer dans l'article la première partie de ta réponse, qui est sûrement sourçable mais on s'en passerait. Pour la deuxième j'ose moins car ta preuve est imparable (on peut raccourcir un chouïa : si 1 = cx et x² = nx alors n = ncx = cnx = cx² = x) mais ma question était-elle « pertinente » (au sens : probablement sourçable) ? Anne (d) 3 décembre 2012 à 21:12 (CET)

Quant à la première partie de ma réponse, les auteurs semblent trouver le cas des espaces vectoriels plus intéressant que celui des modules : ils disent que dans le cas d'un p-groupe fini, le rang est égal à la dimension de l'espace vectoriel constitué par le quotient du groupe par son sous-groupe de Frattini, mais je ne me souviens pas avoir remarqué, dans les introductions à la théorie des groupes que j'ai lues, un énoncé plus général avec un module au lieu d'un espace vectoriel. Pour ma part, ne pouvant pas alléguer de source, je n'aborderais pas la question, mais si tu vois les choses autrement, je n'ai pas d'objection. Quant à la seconde partie de ma réponse, je pense que ce sont des subtilités qui n'ont pas un intérêt primordial, et,comme tu le dis, il n'est pas certain que ce soit sourçable. Marvoir (d) 3 décembre 2012 à 22:24 (CET)

Je vois à l'article Anneau Z/nZ que tu as tout de même fini par trouver une source. Comme ça, c'est parfait. Marvoir (d) 4 décembre 2012 à 15:40 (CET)

Mouais, un mémoire de Master d'une obscure université américaine et un billet du même "auteur" sur PlanetMath, j'aurais aimé trouver mieux mais pas réussi. Anne (d) 4 décembre 2012 à 18:01 (CET)