Discussion:Polynôme minimal (théorie des corps)

"Tout réel est algébrique sur C"

Cette affirmation est vraie ; en fait tout complexe est algébrique sur C, puisque tout élément a d'un corps K est algébrique sur K, de polynôme minimal X - a. Mais cette propriété, banale, n'est pas le théorème de d'Alembert-Gauss. Vivarés (d) 7 juillet 2009 à 00:03 (CEST)

(Suite de) ménage en vue

Suite à relecture de la sous-section "Anneaux d'entiers" et de Élément entier (avec qq améliorations marginales + une grosse), j'ai l'intention de :

1. revenir à la définition directe d'élément entier qu'on trouve partout : Bourbaki, Serre, Lang, Samuel, Zariski-Samuel, et même cette source de l'article, c'est-à-dire ne pas écrire les mots "polynôme minimal" quand on parle d'éléments entiers sur un anneau,
2. recycler l'essentiel de cette sous-section (qui du coup devient hors-sujet) dans Élément entier.

Anne Bauval (d) 1 mai 2010 à 17:22 (CEST)

p.s. (23h17) L'analogie entre la démo de 4 =>1 dans Élément entier#Propriétés et celle du lemme de Nakayama est frappante. Existe-t-il une "mise en forme unificatrice" ?

En fait les 2 sont des applications de Cayley-Hamilton, je l'ai ajouté en remarque dans ces 2 articles. Anne (d) 10 mai 2012 à 21:02 (CEST)

Proposition de renommage

Un titre plus juste ne serait-il pas Polynôme minimal d'un élément algébrique ? (je sais bien que tout est nombre, mais pour moi, « nombre algébrique » signifie « élément algébrique sur Q ») Anne Bauval (d) 30 mai 2011 à 15:23 (CEST)

J'aurais d'abord proposé la fusion en un seul article « Polynôme minimal » (actuellement page d'homonymie) mais il y a déjà assez de matériel pour scinder. Peut-être serait-il plus pertinent de garder un article « Polynôme minimal d'un nombre algébrique » mais de renvoyer tous les résultats généraux à la page « Polynôme minimal », tout en conservant à part un article « Polynôme minimal d'un endomorphisme ». Ambigraphe, le 1 juin 2011 à 15:21 (CEST)

L'interwiki en:Minimal polynomial (field theory) correspond-il vraiment à cet article (comme le fait remarquer Anne Bauval nombre algébrique, c'est plus restreint) ? Bien qu'il soit très court, il me semble plus utile. On y trouve des informations basiques (un polynôme annulateur est multiple du polynôme minimal par ex.) que l'on ne trouve pas ici (en tout cas ça ne saute pas aux yeux). Y-a-t-il la place pour un article polynôme minimal (théorie des corps) ? Où faut-il reprendre cet article (dont je comprends mal la structure et le périmètre, je l'ai juste survolé), en le renommant (comme en: ou comme le propose Anne) et en le réorganisant ? Les liens sur cet article, par exemple dans corps de rupture ou corps fini ne me semblent en l'état pas très utiles. Proz (d) 21 janvier 2012 à 11:06 (CET)

S'il y a accord pour renommer en Polynôme minimal d'un élément algébrique (ou polynôme minimal (théorie des corps)), je peux le faire. Il paraît clair que dans l'état actuel, l'article n'est pas restreint aux nombres algébriques. Par ailleurs il me parait se perdre dans des détails (§ Théorème de Cayley-Hamilton est-ce bien utile ici ?), un historique aventureux (tout le paragraphe contexte, à intention plus ou moins historique, me semble hors sujet, ou à résumer dans un paragraphe exemple), et ne pas parler de choses assez essentielles (plus petit polynome annulateur, élément conjugué).

Pour que l'on puisse mettre un lien sur la notion de polynôme minimal dans un cas moins particulier, J'ai déshomonymisé la page polynôme minimal, ce qui peut être remis en cause s'il y a renommage (mais pas forcément non plus). Proz (discuter) 21 février 2014 à 23:15 (CET)

Généralisation aux anneaux factoriels

Ce paragraphe étend la définition aux anneaux factoriels, ce qui ne paraît pas standard. La source File:Bensimhoun-On_the_possibility_to_define_the_minimal_polynomial_of_an_algebraic_element_over_a_U.F.D.pdf, même mathématiquement correcte, n'est pas formellement acceptable comme source (voir WP:TI ou en:WP:NOR), et de toute façon pas acceptable du tout pour proposer une nouvelle terminologie, ou étendre une terminologie standard comme ici. Je ne crois pas par ailleurs que commons soit adapté pour publier des notes ou articles, on a eu d'ailleurs une première version sur commons supprimée Commons:Commons:Deletion requests/File:Minimal polynomial of an algebraic element over a UFD - 02.01.2005 - Bensimhoun.pdf, "Deleted: Unused file, outside of Scope.". Un ajout équivalent a été supprimé sur en : https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Minimal_polynomial_(field_theory)&diff=597843450&oldid=597251133 Je propose d'en faire autant. Proz (discuter) 16 mars 2014 à 10:06 (CET)

J'approuve. Je ne savais comment réagir à ce qui semble des autopromos habiles, ça et là, de la part de Maimonid (d · c · b), depuis ma modération cordiale de son premier article. Je suis soulagée que tu t'en charges. Anne (discuter) 24 mars 2014 à 21:08 (CET)

Reprise de l'intro

J'ai repris l'intro dans le sens du renommage à venir, en essayant de préciser certaines choses, d'autres ne me semblent pas très utiles par exemple "Le polynôme minimal fournit une méthode naturelle pour construire de telles extensions", c'est un peu prendre les choses à rebours, et comme c'est une notion élémentaire, il suffit de donner les articles généralistes pas la peine de rentrer dans les détails (théorème des unités, ...). Si vous pensez que j'ai tort ne pas hésiter à le dire. Proz (discuter) 22 mars 2014 à 14:16 (CET)

Motivation

Je compte éliminer cette partie assez hors sujet, et qui me semble plutôt obscurcir la lecture de cet article sur un sujet technique (et conserver en exemple polynômes cyclotomiques et entiers algébriques). La seule partie sourcée (source secondaire) sur Euler est franchement hors sujet et traitée (avec la même source) dans Démonstrations du dernier théorème de Fermat. Pour le reste ce sont des sources primaires, et aucune évidence de ce qui est avancé (par ex. je ne crois pas que le nom "polynôme cyclotomique" vienne des Disquisitiones arithmeticae comme il est dit, Gauss se ramène très vite au cas premier par ailleurs). Un tel article n'a pas à contenir une introduction historique à la théorie de Galois ou à la théorie des nombres. Je n'ai rien trouvé sur l'histoire du "polynôme minimal" proprement dite (idée, apparition du terme, ...). Proz (discuter) 31 mars 2014 à 03:51 (CEST) [Fait] 7 octobre 2014