Discussion:Paradoxe des prisonniers

Mais...

...tout cela ne serait-il pas juste une histoire de point de vue ? Que chaque prisonnier sache ou non qu'il va être exécuté, pour tout spectateur ne le sachant pas chacun a deux chances sur trois d'être exécuté. Après, du point de vue de l'exécuté ce n'est qu'une valeur non fixe, et donc pas une simple probabilité : plus on a d'indices, plus on a de chances d'avoir la réponse.

En bref, il me semble encore et encore que le point de vue du prisonnier et la probabilité en rapport ne sont que du subjectif. Un peu comme si on cherchait la valeur de "x + 2" en disant au fur et à mesure que x est positif, inférieur à 45, un réel, composé de chiffres pairs, etc. : vu de loin on ne peut qu'affirmer que "x + 2" est égal à x augmenté de 2, et voilà tout.

Bon, je m'égare... il y a tout un débat autour de ça :-)

--Gvf 10 janvier 2007 à 02:24 (CET)

Non, tu confonds avec le Monty-Hall. Ici ce qui était absurde, c'est que toutes les réponses possibles auraient conduit à ramener la probabilité d'exécution à 1/2 alors qu'elle était de 2/3 avant de poser la question. Si le prisonnier pointe un camarade choisi au hasard du doigt et demande "celui-là sera-t-il exécuté", la réponse "oui" ramène la probabilité de survie du curieux à 1/2. Mais il y a aussi la possibilité pour que la réponse soit "non", qui fait passer la probabilité d'exécution du curieux à… 1. Bourbaki 15 janvier 2007 à 21:41 (CET)

En effet....

...toute cette histoire ce présente comme une question de point de vue mais je vous invite à venir participer aux débats sur ce sujet ~~Jhon gaha

Pour les non-férus des probabilités conditionnelles

On peut schématiser les 3 cas de figure comme suit (r = raisonneur, d = désigné, t = troisième, gras = gracié) :

• Configuration r d t
  • au hasard le gardien dit d
  • au hasard le gardien dit t >> pas possible, il dit d
• Configuration r t d
  • au hasard le gardien dit d >> pas possible, il dit t
  • au hasard le gardien dit t
• Configuration d t r
  • au hasard le gardien dit d
  • au hasard le gardien dit t

On constate bien que dans un cas sur les trois où le gardien dit d, r est gracié, tandis que dans deux cas sur les trois, c'est t.

--Jplm Répondez de préférence ici, sinon : Discussion 26 septembre 2009 à 17:53 (CEST)


Bonjour Jplm, votre schéma ne marche pas car il est mal formulé et mal interprété :
Formulation :
1. quelles que soient les circonstances, le gardien dit toujours "d", mais ça s'applique soit au second prisonnier "s", soit au troisième "t" pour respecter votre terminologie.
2. Pourquoi obligez-vous le gardien répondre 2 fois dans le deux premiers cas, alors qu'il ne répond qu'une fois puisqu'il n'a pas d'alternative ?
3. Il ne peut y avoir aucun hasard dans les réponses du gardien pour les deux premiers cas.

Je préfère

• Configuration r s t
  
  • le gardien designe s
    
• Configuration r t s
  
  • le gardien désigne t
    
• Configuration s t r
  
  • au hasard le gardien désigne s
    
  • au hasard le gardien désigne t
    

Interprétation : Quelle que soit sa formulation, tout ce qu'on peut déduire de ce schéma est qu'ils ont chacun 1/3 chance d'être gracié et 2/3 chances d'être exécuté. Et ça me parait être la meilleure façon de présenter et de résoudre ce problème hahaha! En somme, la vraie question ce n'est pas de savoir quelle est la chance de chaque prisonnier d'être gracié (c'est déjà décidé), mais de savoir quelle sont les chances de "s" et de "t" d'être désignés.

Et c'est très bien parce que ça montre à quel point les méthodes d'analyse d'un même problème influent sur le résultat !
Bien cordialement.

Je ne suis pas d'accord avec les conclusions de l'article

Ce que je soutiens

Je vois deux problèmes dans l'article tel qu'il est rédigé aujourd'hui:

1. Le raisonnement autour des probabilités conditionnelles me parait faux dans la preuve qui est donnée.
2. Le raisonnement concluant que les chances du "troisième" grimperaient de 1/3 à 2/3 est faux: les chances du troisième sont bien de 2/3 mais après que le gardien ait fait son choix. Le "troisième" est déterminé par le choix du gardien. Dire que les chances du troisième valent 1/3 initialement n'a pas de sens.

Preuve sur le fait que la désignation d'un condamné ne change pas les chances du raisonneur

Dans le raisonnement du texte, il y a une ambiguïté entre "un prisonnier", "le désigné" et "le troisième". On confond les personnes et l'information les concernant. Ce n'est pas la même chose. Si on appelle "les prisonniers" A,B et C (les personnes), sachant que A="le raisonneur", "le désigné" peut-être B ou C selon les circonstances. L'information "Le désigné" suppose deux événements:

• Ce n'est pas "le raisonneur".
• C'est un condamné à mort parce que le gardien connait cette information et qu'il ne ment pas.

J'interprète les formules :

 - P(G=r|I=d) comme la probabilité que le raisonneur soit grâcié sachant que le gardien désigne un condamné à mort.  C'est a priori la 
   valeur que l'on cherche.
 - P(G=r) comme la probabilité que le raisonneur soit grâcié. P(G=r)=1/3.
   P(I=d) comme la probabilité que le gardien désigne un condammé à mort. P(I=d)=1 et non 1/2. Ce serait le cas si on désignait 
   précisément la personne en question (B ou C). Par définition, le gardien sait qui est grâcié. Il peut toujours désigner un 
   condamné entre B et C.
 - P(I=d|G=r) comme la probabilité que le gardien désigne un condamné à mort sachant que le raisonneur est grâcié. P(I=d|G=r)=1 et non 
   pas 1/2. En effet, le fait que le raisonneur soit grâcié ne change en rien la capacité du gardien de choisir un condamné. C'est un 
   événement certain.

Donc,

 P(G=r|I=d) = P(I=d|G=r).P(G=r)/P(I=d) = 1.(1/3)/1=1/3 

Le fait de désigner un condamné à mort ne change pas les chances du raisonneur. CQFD.

Preuve sur le calcul des chances du troisième après la désignation du condamné

Le concept de "troisième" est une conséquence du choix du gardien. Il n'a pas de sens avant ce choix.

D'autre part, le raisonnement de l'article n'applique pas le théorème des probabilités conditionnelles. Je me demande bien pourquoi.

Sachant que :

 - P(G=t|I=d) : probabilité que le troisième soit grâcié sachant que le gardien désigne un condamné à mort.  C'est a priori la 
   valeur que l'on cherche.
 - P(G=t) : probabilité que le troisième soit grâcié. P(G=t)=2/3.
   P(I=d) : probabilité que le gardien désigne un condammé à mort. P(I=d)=1.
 - P(I=d|G=t) : probabilité que le gardien désigne un condamné à mort sachant que le troisième est grâcié. P(I=d|G=t)=1. 

Donc :

 P(G=t|I=d) = P(I=d|G=t).P(G=t)/P(I=d) = 1.(2/3)/1=2/3 

L'affirmation que P(G=t)=2/3 s'appuie sur le raisonnement suivant:

Table de décision du paradoxe des prisonniers
Personnes	A	B	C	Cas (G=t)	Commentaires
Information	Raisonneur	Désigné ou Troisième
Cas	G	M	M	0	Si A est gracié, le troisième ne peut pas l'être
	M	G	M	1	Si A n'est pas gracié, le troisième l'est automatiquement puisque le condamné est désigné.
	M	M	G	1
Nb: les cases en bleu ciel désignent le choix du gardien. Dans le premier cas, il a le choix entre B et C mais ce choix est neutre sur les chances du troisième. Dans les deux autres cas, le choix du gardien impose les chances du troisième. Conventions : G=Gracié; M : condamné à Mort.

Jeanbar (d) 14 janvier 2011 à 19:44 (CET)

Bonjour Jeanbar,
Raisonnement juste, mais il faut préciser pour finir que le 3è est soit B, soit C, ce qui revient à dire qu'il ont chacun 1/3 de chance d'être gracié (avant désignation of course) et qui est lisible directement dans votre tableau.
Bien cordialement.

1/3 d'un côté ne signifie pas 2/3 de l'autre. Raisonnement Erroné...

Ce résultat de 1/3 - 2/3 me semble particulièrement erroné. En effet, le fait que le raisonneur se retrouve avec une chance d'1/3, ne signifie pas que l'autre ait vu ses chances augmenter à 2/3... Et la réponse du gardien n'apporte en réalité aucune nouvelle information...

Les différentes configurations ne sont qu'au nombre de trois (ici, dans l'ordre, les statuts de r, d, et t) :

• Gracié, Exécuté, Exécuté
• Exécuté, Gracié, Exécuté
• Exécuté, Exécuté, Gracié

En somme, dans tous les cas, que r soit exécuté ou non, l'un des deux autres sera exécuté. Quelle que soit la configuration, il y a donc une probabilité de 1 (100%) qu'un des deux autres soit exécuté. Par conséquent, lorsque r demande au gardien "tu peux me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté", cela ne change absolument rien : aucune information nouvelle. On le savait, il y en aurait un des deux autres qui serait forcément exécuté. Par conséquent qu'est-ce que cela change ? r avait bien une chance sur trois d'être exécuté, il en va de même maintenant. Mais est-ce à dire que t est lui passé à 2 chances sur 3 ? Non, absolument pas. Il y avait 1/3, 1/3, et 1/3. d est hors de la course, il reste donc deux personnes à 1/3, et il faut bien adapter les probabilités à la nouvelles popultion -> 1/2. Ce résultat du 2/3 est d'autant plus absurde que t pourrait tout aussi bien se poser la question. Et dans ce cas, que se passe t-il ? r et t ont des positions interchangeables : t, dès lors qu'il se pose la question devient r. Alors, si je comprends bien le fait de poser la question le premier au gardien diminuerait nos chances de grâce au profit de l'autre ? Ca n'a aucun sens.

Prenons un autre exemple : j'ai en face de moi, 6 enfants. Je décide que je vais offrir un bonbon à l'un-e d'eux/elles. J'ai fait mon choix avant de l'annoncer. Bien. Chaque enfant a donc 1 chance sur 6 de recevoir le bonbon. Si je l'offre tout de suite, alors un enfant aura capté cette chance sur six. Mais si je décide d'annoncer au fur et à mesure, le nom des enfants qui n'ont pas été choisis ? Au final, devant moi, il ne reste que deux enfants. Leur chance était de 1/6, chacun, mais n'a pas changé pour autant, depuis qu'ils ne sont plus que deux. En fait, étant donné que la population a changé (6 -> 2) leur probabilité change aussi, et passe à 1/2 chacun. Si l'on suit le raisonnement produit dans cet article wikipédia, l'un des enfants aurait 5 chances sur 6 d'obtenir le bonbon face à son camarade, puisqu'il n'a qu'1/6 chance.

Ca n'a aucun sens, et c'est une faute grave. On peut donc donner deux réponses valides à ce paradoxe : 1/3, ou 1/2, selon comment on voit les choses (c'est avant tout une question de temporalité). Ce qui est sûr en revanche, c'est que ce résultat est le même pour l'autre prisonnier qui ne voit pas ses chances de survie augmenter parce que l'homme en face a osé demandé le premier au gardien si la première exécution avait eu lieu.

"Vous souhaitez augmenter vos chances de survie ? Alors faites en sorte que votre camarade demande au gardien si l'un de vous a été exécuté".

Tout cela n'a aucun sens.

--JulesHyene (d) 29 octobre 2012 à 15:18 (CET)

Quelle longue plaidoirie pour expliquer que vous n'êtes pas d'accord avec un problème bien connu, démontré mathématiquement et avec des sources. Ce paradoxe est le même que le problème de Monty Hall. Dans ce dernier, il s'agit de 3 portes avec une récompense derriere l'une d'entre elles et les deux mêmes phases. Je ne peux pas tout réexpliquer ici mais sur la page problème de Monty Hall, il y pleins d'explications. il est vrai que le problème est plutôt contre intuitif, cv'est pour ca qu'on l'appelle paradoxe.

Évidemment au début, les 3 prisonniers ont 1/3 chacun d'être gracié. Cependant l'information que donne le gardien est primordiale. Oui il montre toujours un prisonnier non gracié, mais deux cas apparaissent : le cas où le gracié est celui qui demande et le cas où celui qui est gracié est parmi les deux autres. Cette séparation en deux cas va faire apparaitre les 1/3 et 2/3. Encore une fois je recommande problème de Monty Hall.

Et si vous n'êtes toujours pas persuadé, le mieux est de faire l'expérience soit même : il faut prendre trois papiers cacher une pièce sous l'un deux au hasard et faire l'expérience avec quelqu'un. Il reste à compter le nombre de fois où le joueur gagne. En quelques parties, on voit apparaitre les moyennes de 1/3 et de 2/3. Ipipipourax (d) 29 octobre 2012 à 18:58 (CET)

Merci Ipipipourax pour votre réponse. Oui, je connais bien le problème de Monty Hall et sur ce problème précis je suis d'accord avec les conclusions majoritaires. Cependant j'estime que le problème de Monty Hall n'est pas similaire à celui-ci. En effet, on parle bien ici du point de vue du prisonnier, ce qui me semble différent du problème de Monty Hall où l'on prend en compte la position de l'observateur. Ici, le "parieur" fait partie du problème, ce qui change la donne. Imaginons ces prisonniers nommés A, B, et C. A va voir le gardien, qui lui dit que B est exécuté, puis deux minutes plus tard C fait de même, et apprend que B est exécuté. Les deux ont alors deux fois plus de chances d'être exécuté que leur camarade ? Par ailleurs, le problème de Monty Hall n'est pas si contre-intuitif. Il suffit d'augmenter le nombre de portes pour que cela devienne limpide. Si l'on choisit une porte sur un total de dix, et que quelqu'un retire 8 portes derrière lesquelles il n'y a rien, alors il y a bien 9 chances sur 10 que l'autre porte représente la bonne. En revanche, dans le cas des prisonniers, ça n'est pas la même chose. Dans le cas où il y aurait cette fois 10 prisonniers, le prisonnier A aurait alors 1 chance sur 10 d'être gracié, et le prisonnier C 9 chances sur 10 ? Mais si le prisonnier C fait la même démarche et va se renseigner auprès du gardien... ? On revient toujours au même. --JulesHyene (d) 30 octobre 2012 à 00:37 (CET)

Je pense pour ma part que c'est le même problème que Monty-Hall. Le fait de choisir initialement une porte, correspond au choix du prisonnier qui va êtr renseigné par le gardien, l'information est donc sur les deux autres portes ou les deux autres gardiens. C'est-à-dire que dans Monty-Hall, le joueur est associé à la première porte qu'il choisit. (Je sais pas si mon argument est convainquant). Quand vous dites que A va voir le gardien et C fait de même, c'est déjà deux expériences non indépendantes, du coup ce n'est plus le même problème. Ipipipourax (d) 30 octobre 2012 à 10:47 (CET)

Bonjour Ipipipourax, ce problème n'a strictement rien à voir avec celui de Monty Hall pour plusieurs raisons :

1. le problème de Monty hall porte sur la probabilité de réussite d'un choix stratégique qui peut être modifié ultérieurement = alternative > action requise,

2. le problème des prisonniers n'autorise aucun choix : tout est désigné à l'avance = pas d'alternative > information uniquement,

3. le problème de Monty Hall met en scene UN protagoniste actif.

4. le problème des prisonniers (strictement réduit au présent énoncé) met en scène TROIS prisonniers passifs (impuissants) qui sont informés des mêmes choses en même temps quel que soit celui qui pose la question et qui sont donc égaux devant le sort jusqu'à la désignation de l'un d'entre eux.

5. l'unique analogie est l'intervention d'un tiers pour apporter une information nouvelle en cours de process (le présentateur et le gardien) mais elle n'a absolument pas les mêmes répercussions dans les deux cas.

Pour vous en convaincre, il suffit de construire les arbres des possibles de ces deux problèmes.
Bien cordialement,
--Tireatute (discuter) 9 septembre 2018 à 16:34 (CEST)

Bonsoir. Je pense également que dire que les chances du prisonnier non cité par le gardien augmentent dès lors que le raisonneur sait l'identité d'un des condamnés n'a pas de sens. Imaginons le même énoncé mais en ajoutant une variable qui serait le fait que le gardien informe chacun des prisonniers : " Trois prisonniers sont dans une cellule. Ils savent que deux vont être condamnés à mort et un gracié, mais ils ne savent pas qui. Chacun d'eux va voir le gardien, chacun leur tour, et leur demande : « Je sais bien que tu ne peux rien me dire, mais tu peux au moins me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté ». Le gardien réfléchit, se dit que de toutes manières au moins l'un des deux autres prisonniers sera condamné, et s'exécute en désignant l'un des prisonniers qui sera exécuté. Chacun des prisonniers répond alors : « Merci, avant, j'avais une chance sur trois d'être gracié, et maintenant, j'ai une chance sur deux. » " Si on s'en tient au raisonnement qui est donné sur la page Wikipedia cela voudrait dire que chaque prisonnier qui n'est pas cité comme étant condamné par le gardien voit ses chances de survie augmenter.

--Ellonea (d) 29 octobre 2012 à 21:32 (CET)

Il ne faut pas considérer que le deuxieme choix est indépendant de l'information donné par le gardien, ca peut sembler être le cas, mais non. Du coup, on ne peut considérer les trois prisonniers en même temps, car l'information donnée par le gardien ne serait pas la même pour chacun des prisonniers. En fait, comme je le mentionnais, le résultat est bon et démontré mathématiquement. Donc si une intuition ne colle pas avec le résultat, c'est que l'intuition n'est pas bonne. Trouver l'explication n'est pas toujours très facile. Ipipipourax (d) 29 octobre 2012 à 23:54 (CET)

Bonjour Ipipipourax,
Je suis d'accord avec Ellonea et JulesHyene
1. De quel deuxième choix parlez-vous svp ?
2. Le résultat est faux parce que la démonstration est biaisée à la fois au niveau de la formulation et du raisonnement.
Bien cordialement,
--Tireatute (discuter) 9 septembre 2018 à 21:35 (CEST)

1/3 d'un côté signifie 2/3 de l'autre...

La prétendue réfutation citée plus haut comportent quelques remarques erronées. On a bien au départ 3 cas équiprobables :

• Gracié, Exécuté, Exécuté
• Exécuté, Gracié, Exécuté
• Exécuté, Exécuté, Gracié

Et bien sûr le geôlier apporte une information. On se retrouve avec 4 cas non-équiprobables :

• Gracié, Exécuté-Désigné, Exécuté
• Gracié, Exécuté-Désigné, Exécuté-Désigné
• Exécuté, Gracié, Exécuté-Désigné
• Exécuté, Exécuté-Désigné, Gracié

Leurs probabilités sont resp. 1/6, 1/6, 1/3 et 1/3. C'est là que tout diverge dans les points de vue

Ainsi si le geôlier désigne le second prisonnier, il reste 2 cas non-équiprobables, soit 1/6 et 1/3. Tous calculs faits, on obtient les probabilités 1/3 et 2/3 comme cités dans le texte. CQFD. --Dimorphoteca (d) 14 avril 2013 à 18:27 (CEST)

Bonjour Dimorphotecal,
Je ne comprends pas ce que signifie le cas "Gracié, Exécuté-Désigné, Exécuté-Désigné" ni la probabilité de 1/6 qui s'y rattache; ni la façon dont vous distribuez les autres probabilités d'ailleurs. Pourriez vous préciser les répartitions des cas pour chaque prisonnier identifié (par exemple Albert, Brice et Colin) et leurs probabilités dans le même tableau SVP, ou mieux dans un arbre des possibilités SVP ? Merci.
Bien cordialement,
--Tireatute (discuter) 9 septembre 2018 à 22:37 (CEST)

Paradoxe toujours...

Après la réponse du gardien on sait que t a 2 chances sur 3 d'être gracié.
Supposons que t pose à son tour la même question au gardien. Alors un autre prisonnier se retrouve avec 2 chances sur 3 d'être gracié. Il y a donc deux prisonniers qui ont chacun 2 chances sur 3 d'être graciés. Ce qui est absurde.
Pour sortir de ce paradoxe ne devrait-on pas admettre que la réponse du gardien ne modifie pas les probabilités d'être gracié?--41.79.217.118 (d) 28 avril 2013 à 13:42 (CEST)

Votre raisonnement n'est pas correctement rédigé, car il mélange les probabilités conditionnelles. Ainsi le premier "2/3" est la probabilité sachant la première réponse et bien sûr en ignorant la seconde. Votre second "2/3" est la probabilité en sachant la seconde réponse, mais en ignorant la première. On n'a effectivement pas le droit de faire la somme de ces deux probabilités, car on trouverait 4/3, ce qui est impossible. Par contre, on doit recenser tous les cas possibles pour trouver les trois probabilités sachant les deux réponses et de là seulement on peut déduire les trois probabilités. On serait alors dans le cas d'un hypothétique espion écoutant les trois prisonniers et leur geôlier et qui en saurait ainsi un peu plus que chacun des trois prisonniers. Cela devient un problème de Mastermind, où plus on pose de questions et plus on augmente ses chances de trouver. Puis-je vous laisser voir cela ? A mon sens il n'y a pas ici de paradoxe, au sens que l'on fait ou pas une erreur fallacieuse.

--Dimorphoteca (d) 29 avril 2013 à 09:34 (CEST)

Je vous remercie pour votre réponse... qui ne me convainc pas. Ce que vous appelez un "hypothétique espion" est simplement un lecteur (comme vous et moi) qui a connaissance de l'énoncé du problème (c'est-à-dire les réponses obtenues par r et t). Soyons précis:
Après la réponse obtenue par r la probabilité de t d'être gracié est 2/3. Cette probabilité n'est pas une probabilité conditionnelle.
Après la réponse obtenue par t la probabilité d'être gracié du prisonnier qui n'est pas désigné par le gardien est aussi de 2/3. Cette probabilité n'est pas non plus une probabilité conditionnelle.
A mon sens le paradoxe reste entier.--41.79.217.122 (d) 29 avril 2013 à 11:03 (CEST)

Je lis "Cette probabilité n'est pas une probabilité conditionnelle" et "Cette probabilité n'est pas non plus une probabilité conditionnelle". Je ne vois pas pourquoi. Elles sont conditionnelles car elles dépendent des réponses du geôlier. Si elles ne l'étaient pas, on aurait l'impossibilité que vous avez citée. Elles le sont et on a un système cohérent de réponses.

--Dimorphoteca (d) 29 avril 2013 à 11:31 (CEST)

Soyons rigoureux. Après la révélation du gardien que le prisonnier d sera exécuté les probabilités d'être gracié sont 1/3 pour r, 0 pour d et 2/3 pour t. Ces probabilités sont affichées dans le paragraphe "Interprétations" de l'article. Ce ne sont pas des probabilités conditionnelles mais des probabilités calculées en fonction de la réponse du gardien. Le paradoxe est toujours là... --41.79.217.121 (d) 30 avril 2013 à 11:25 (CEST)

L'article utilise la formule de Bayes et celle-ci utilise bien les probabilités conditionnelles, sujet ici évoqué. Je pense que cette notion est nouvelle pour vous ? Pour ce qui est de l'exemple que vous avez produit, il y a confusion entre différentes probabilités. A la première réponse R1 du gardien on a les probabilités 0, 1/3 et 2/3 sachant cette réponse R1 et bien sûr ne sachant pas la réponse R2. Pour la seconde réponse R2, on a bien à nouveau les probabilités 0, 1/3 et 2/3 sachant R2, mais ne sachant pas R1. On est d'accord tous les deux jusque là. Mais après il y a une confusion, car les probabilités pour sachant R1 ET R2 conjointement sont différentes. Notez le "ET" SVP. Elles peuvent par ex. être 0, 0 et 1 si le gardien indique deux prisonniers différents avec ses réponses R1 et R2, d'où mon lien avec le jeu Mastermind. Au demeurant, comme dit aussi dans l'article, la formule de Bayes demande du soin dans son emploi. Le problème que vous avez soulevé demanderait d'étudier toutes les variantes possibles. Par exemple, le gardien peut avec R2 désigner le même prisonnier, et on peut alors imaginer que l'on pose au gardien une troisième question. C'est intéressant, j'avoue !

J'apprécie peu l'ironie de votre question de savoir si "la notion de probabilité conditionnelle est nouvelle pour moi".
Et je continue d'affirmer qu'il n'y a absolument aucune probabilité conditionnelle dans mon énoncé.
A ce sujet il me semble qu' il est tout aussi inutile de faire intervenir la notion de probabilité conditionnelle dans la résolution du paradoxe des prisonniers. C'est de plus maladroit car la résolution n'est alors accessible qu'aux "savants" qui maîtrisent cette notion. Voici une résolution sans probabilité conditionnelle:
- Avant la réponse du gardien la probabilité d'être le gracié est 1/3 pour r et la probabilité de contenir le gracié est 2/3 pour l'ensemble {d, t}. On sait évidemment que l'un des deux parmi {d, t} sera exécuté.
- Après la réponse du gardien on n'apprend rien de plus sur la répartition 1/3 et 2/3 des probabilités. Les probabilités restent donc inchangées en particulier la probabilité de {d, t} de contenir le gracié reste 2/3.
- Puisque d n'est pas gracié c'est t qui prend la probabilité 2/3 d'être gracié.
--41.79.217.112 (d) 1 mai 2013 à 12:34 (CEST)

Il n'y a aucune ironie dans mes interventions. J'estime toutefois que votre dernière version comporte une trop grande simplification : vous dites "Après la (première) réponse du gardien on n'apprend rien de plus sur la répartition 1/3 et 2/3 des probabilités". C'est réducteur car on passe bien de (1/3, 1/3, 1/3) à (1/3, 2/3 et 0). C'est là qu'entrent en jeu les probabilités conditionnelles qui permettent de voir le problème dans son entier et d’utiliser la formule de Bayes. Bien sûr, j'admets que le restant de votre dernière intervention est correcte et évite d’utiliser cette notion, mais je persiste à dire que vos précédentes mettant en jeu deux réponses du geôlier ne forment pas une réfutation que l'on puisse accepter pour la raison que j'ai déjà évoquée : confusion entre différentes probabilités conditionnelles. Ceci ne diminue en rien l'intérêt de votre variante qui mérite analyse, même si celle-ci n'aboutit pas là où vous auriez souhaité arriver.

Malgré vos affirmations, je ne vois toujours pas de réel paradoxe, sauf au sens où la démonstration présentée dans la version actuelle de l'article n'est pas visible au premier coup d'œil.

--Dimorphoteca (d) 1 mai 2013 à 14:59 (CEST)*

Bonjour 41.79.217.112, Votre conclusion est juste en regard de votre raisonnement : C'est bien t qui a 2/3 chance d'être gracié. Le problème, c'est que c'est une lapalissade. Identifiez vos prisonniers SVP et formalisez le raisonnement pour chacun d'eux.
--Tireatute (discuter) 9 septembre 2018 à 23:17 (CEST)

Ambiguité

Bien que ce paradoxe ressemble au problème de Monty Hall, il est tout à fait différent et sa justesse est plus ambiguë. La différence déterminante est qu'ici, le prisonnier n'a aucun choix possible ni modifiable, ce qui change complètement la combinaison des probabilités. Qui plus est, les trois prisonniers partagent la même information en temps réel et sont donc égaux de ce point de vue.

Sans changer les prémisses, je vous propose une variante de l'énoncé:

[...] Le gardien réfléchit et répond "tu le verras demain". Le lendemain, un des deux compagnons du prisonnier ayant posé la question est exécuté.

Cette formulation apporte les mêmes informations que la précédente et répond de la même façon à la question du raisonneur. Cependant :

- Quelles sont les chances individuelles de survie des deux restants après l'exécution et pourquoi ?

--Tireatute (discuter) 8 septembre 2018 à 14:14 (CEST)

Si votre variante est étayée par une source, il ne faut pas hésiter. Après on verra pour la rédaction. Par contre, s'il s'agit d'une "exégèse", je suis surpris, car cette formulation change le point de vue fallacieux du prisonnier "raisonneur" (même si au final on reste bien avec nos probabilités de départ, ce qui semble votre point de vue). --Dimorphoteca (discuter) 8 septembre 2018 à 18:40 (CEST)

Bonjour Dimorphoteca,
pas de source, pas d'exégèse. Il s'agit juste d'une reformulation destinée à apporter un éclairage un peu différent sur le sujet, sans en changer les propriétés.
Si vous construisez les arbres des possibles de ces deux formulations, ils sont identiques (point de départ, question, information et conséquences).
Je ne comprends pas ce que vous entendez par point de vue fallacieux du raisonneur.
--Tireatute (discuter) 9 septembre 2018 à 16:51 (CEST)
Compris. J'ai zappé le point de vue du raisonneur à la fin de l'énoncé. Cependant, ça n'a pas d'importance puisque cette réflexion ne fait pas partie du problème (sauf à vouloir conclure sur les chances du raisonneur d'avoir tort ou raison, ce qui est tout à fait subsidiaire).
--Tireatute (discuter) 9 septembre 2018 à 22:58 (CEST)

Il s'agit donc de donner un éclairage différent. Si l'on ne s'écarte pas des sources, cela ne pose pas de problème. Tracer un arbre non plus, s'il reprend le texte. Mais une variante où le gardien dit "tu le verras demain" me semble trop différent du point de départ. A tort ou à raison je me dis "C'est idem pour le gardien (donc OK avec Tireatute), mais pas pour le prisonnier (qui de toute façon à tort) et c'est là que je coince". --Dimorphoteca (discuter) 10 septembre 2018 à 09:41 (CEST)

Question naïve...

Bonjour à tous et bravo pour la richesse de cette page de discussion !
Voici ma (double) question naïve :

Imaginons qu'en guise de réponse, le gardien sorte son flingue et abatte l'un des deux autres prisonniers.
1° Le questionneur aurait-il alors tort de penser "J'ai une chance sur deux de survivre" ?
2° En quoi ce scénario diffère-t-il de l'original ?

Bonnes salutations et d'avance merci de vos éclaircissements...
MuPiKa (discuter) 17 octobre 2021 à 02:31 (CEST)