Discussion:Lemme de classe monotone

dessins inutiles ??

Je me suis fait plaisir en rendant hommage à Wacław Sierpiński, car je viens de découvrir qu'en dehors de ces 2 beaux objets mathématiques qui m'ont ravi sans pour autant m'être très utiles, il a aussi démontré un lemme d'une grande importance dans mon domaine. Peut-être ces dessins encombrent-il trop cette page, mais, dans le doute, je les laisse quand même.--Chassaing 25 février 2009 à 14:43 (CET)

à faire ??

• une version fonctionelle (voir Barbe et Ledoux)
• caractériser la loi d'une suite via les lois fini-dimensionelles ??
• autre chose ??

Chassaing 16 septembre 2009 à 13:03 (CEST)

Démonstration

Je ne comprends pas tout à fait la démonstration du lemme, je crois qu'elle omet une justification, en effet qu'est-ce qui garanti que si ${\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}$ est une tribu, alors $\sigma ({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}$ ??

Jfisc86 (d) 13 avril 2011 à 15:32 (CEST)

Par définition de $\sigma ({\mathcal {C}}),$ (voir tribu engendrée) $\sigma ({\mathcal {C}})$ est la plus petite (pour l'inclusion) tribu contenant ${\mathcal {C}},$ alors que ${\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}$ est une tribu contenant ${\mathcal {C}}.$ Donc $\sigma ({\mathcal {C}})$ est plus petite (pour l'inclusion) que ${\mathcal {M}}_{\mathcal {C}},$ autrement dit $\sigma ({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}.$ C'est un raisonnement classique dans ce domaine, mais il aurait peut-être fallu l'expliciter. Chassaing 13 avril 2011 à 20:50 (CEST)

Lemme d'unicité

Ne peut-on pas généraliser le lemme aux mesures quelconques plutôt que de le restreindre aux mesures de probabilités ?

Jfisc86 (d) 14 avril 2011 à 14:23 (CEST)

Là comme ça, je dirai que ça marche si l'espace a la même masse totale finie pour les deux mesures, bien sûr. Il suffit de regarder la démonstration pour voir si on peut laisser tomber l'hypothèse "fini". Cela dit, la généralité pour la généralité, quand c'est aussi évident ... Chassaing 14 avril 2011 à 21:19 (CEST)

J'avoue être très porté sur la généralisation, cependant je cherchais une façon de démontrer l'unicité de la mesure de Lebesgue, qui n'est pas une mesure de probabilité. Justement quand la généralisation est aussi évidente autant la faire. Jfisc86 (d) 14 avril 2011 à 21:41 (CEST)

Soit deux mesures $\scriptstyle \ \mathbb {P} \$ et $\scriptstyle \ \mathbb {Q} \$ définies sur $\scriptstyle \ (\Omega ,{\mathcal {B}}).\$ La classe $\scriptstyle \ {\mathcal {M}}=\{A\in {\mathcal {B}}\ |\ \mathbb {P} (A)=\mathbb {Q} (A)\}\$ n'est pas a priori une classe monotone, car

$\{A\in {\mathcal {M}}{\text{ et }}B\in {\mathcal {M}}{\text{ et }}A\subset B\}\quad \Rightarrow \quad \{B\backslash A\in {\mathcal {M}}\}$

tombe a priori en défaut quand A et B sont de masse infinie (prendre la mesure de Lebegue et 2 fois la mesure de Lebesgue pour P et Q : M se réduit aux boréliens de mesure nulle ou infinie, exactement, laquelle famille n'est pas stable par différence). Une réparation ne me saute pas aux yeux immédiatement, mais elle existe peut-être pour autant (ou pas) car je n'ai beaucoup réfléchi. Si la seule généralisation est "de même masse finie" alors ce n'en est pas vraiment une. Contrexemple à rajouter sur la page principale. Chassaing 14 avril 2011 à 22:31 (CEST)

Une erreur ? (à vérifier)

Il me semble qu'un pi-système doit être non vide. Sinon, le théorème pi-lambda dirait que pour toutes mesures mu et nu, on doit avoir mu(Omega) = nu(Omega), ce qui semble faux...