Discussion:Kurtosis
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il me semble qu'on dit "heavy tail" plutôt que "fat tail".
marc
Il me semble que le terme anglais "kurtosis" se traduit aisément en "coefficient d'aplatissement", que ce dernier est plutôt plus compréhensible pour un francophone, et qu'il est relativzement utilisé dans le communauté statisticienne. Pourquoi ne pas mettre une double entrée, si cela est possible ?
Quant à l'expression franglaise "kurtosis normalisé", traduction de "kurtosis excess", je propose à mes étudiants "excès d'aplatissement", tout en leur signalant les différentes dénominations et surtout l'ambiguité d'usage de la définition de "kurtosis" ("-3" ou pas ...), même dans les usages en anglais.
-- Eric.LEWIN
Cela semble aussi le choix du grand dictionnaire terminologique, et me semble donc un choix judicieux.--- Lupin 19 juillet 2006 à 14:12 (CEST)
"kurtosis" n'est pas un anglicisme mais plutôt un hélénisme (ça se dit?) ça veut dire "bosse" en grec comment modifier proprement l'article (je n'oserai pas le faire moi-même)
Bonjour,
je viens de modifier les bornes inférieures du kurtosis. Elle ne sont pas égale à 0 mais à 1.
Voici une petite démonstration que je viens de faire
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mu )^{2}(X-\mu )^{2}\right]}{\sigma ^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82ea4435d0f52f5a68d33869770968680c2d987)
On obtient
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\mathbb {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{\sigma ^{4}}}+{\frac {\operatorname {cov} \left[(X-\mu )^{2},(X-\mu )^{2}\right]}{\sigma ^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6ff5c94c672641e1e11df8da10f16189d2c79a)
or
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]=\sigma ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253d05ff3ac8bb8da32105d38dfadea7cde67a8e)
donc
![{\displaystyle \gamma _{2}=1+{\frac {\operatorname {var} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{\sigma ^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84516e2fe57b9734cc6a5eda53a91b52a628aefb)
et donc en posant , on a
![{\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\operatorname {var} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{\sigma ^{4}}}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028e51e4cdac57869d8b1750fb4cf942cfe850a6)
Cette démonstration peut être également réalisée de façon simple à partir de l'inégalité de Jensen (ajout du 16/10/09).
Soit l'inégalité de Jensen telle que :
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[f(X)\right]\geq f\left(\mathbb {E} [X]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff9808b3e1c25b11c2ae7b34f11548f9799ac3d)
On a
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{4}\right]\geq \left(\mathbb {E} \left[X^{2}\right]\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8531dfb740bdcb292c91251e8f123a72ca57d515)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{4}\right]\geq \left(\sigma ^{2}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6202fc68faa059a4c26e41c75b1525aa6cdfc)
Donc
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {E} \left[X^{4}\right]}{\sigma ^{4}}}=\gamma _{2}\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9477d7a131f9a84bb25977ec4e4ec7b1c9f01fec)
Thierry
Légende de l'illustration[modifier le code]
L'illustration provenant de commons représente des distributions que je ne connais pas et qui n'ont pas d'article en français (et pas de traduction en générale, sauf pour Distribution sécante hyperbolique que j'ai trouvé dans Constante de Catalan). Si certain connaissent ces distributions et souhaitent créer les articles, ils sont les bienvenues 