Discussion:Formule du produit (théorie des groupes)

2 remarques

1. On peut abstraire cette preuve comme étant une application de la formule des classes, pour l'action de HxK sur HK par produit à gauche par h et à droite par k^-1. Mais bon, comme la formule des classes vient de Lagrange qui vient des bergers, je ne sais pas si ça vaut le coup d'en parler ici ...
2. On pourrait peut-être lier cet article (dans un sens ou dans l'autre) avec Théorèmes d'isomorphisme#Deuxième théorème d'isomorphisme (qui sous des hyp. plus fortes donne un résultat plus fort) Anne 9 novembre 2010 à 01:02 (CET)

Tout à fait d'accord avec la remarque 2. N'hésite pas ! Pour la remarque 1, j'aurais tendance à faire les mêmes réserves que toi. La façon dont on prouve que le cardinal d'une orbite est l'indice du stabilisateur de n'importe quel point de cette orbite (je suppose que c'est à cela que tu fais allusion) est exactement l'utilisation du lemme des bergers qui est faite dans l'article pour démontrer la formule du produit. L'opération de HxK sur HK que tu signales est intéressante à noter (je n'y avais jamais pensé et je la découvre avec plaisir), mais, me semble-t-il, comme un exercice à propos de la formule "cardinal d'une orbite = indice du stabilisateur" plutôt qu'à propos de la formule du produit. Introduire l'opération d'un groupe sur un ensemble me paraîtrait ici un détour inutile. Je dois d'ailleurs dire que je ne vois pas d'un très bon œil la présence, dans l'article Théorème de Lagrange sur les groupes, d'une démonstration qui fait intervenir une action de groupe. Il me semble que c'est trop "enrobé" et que cela cache l'essentiel, sans gain compensatoire de brièveté ou d'élégance. Mais tout cela est évidemment assez subjectif et je ne vais pas essayer de supprimer la démonstration en question dans l'article Théorème de Lagrange sur les groupes. Marvoir (d) 9 novembre 2010 à 12:41 (CET)

P.S. Je me demande si la démonstration par considération de l'action de H x K sur HK n'a pas tout de même un avantage sur celle qui est donnée dans l'article. L'opération est transitive, autrement dit HK tout entier est une orbite. Le stabilisateur de l'élément 1 de HK est le sous-groupe D de $H\times K$ formé par les éléments (a, a) où a parcourt $H\cap K$. Donc le cardinal de HK est l'indice de D dans $H\times K$. Comme D est évidemment isomorphe à $H\cap K$, la "formule du produit" en résulte, mais dire que le cardinal de HK est l'indice de D dans $H\times K$ me semble plus fort que la "formule du produit" si $H\cap K$ est infini (puisqu'on ne peut pas diviser par un cardinal infini). L'opération de groupe en question fournit donc un résultat plus fort que la "formule du produit". Il me semble que si, pour démontrer que le cardinal de HK est l'indice de D dans $H\times K$, on voulait utiliser une démonstration analogue à celle qui est donnée dans l'article, on devrait plutôt considérer l'application $H\times K\rightarrow HK:(h,k)\mapsto hk^{-1}$. Deux éléments de $H\times K$ ont la même image par cette fonction si et seulement s'ils appartiennent à la même classe à gauche modulo D, donc l'image HK de la fonction est équipotente à l'ensemble des classes à gauche modulo D, autrement dit le cardinal de HK est égal à l'indice de D. Je commence à trouver que la démonstration par l'opération de $H\times K$ sur HK n'est vraiment pas mauvaise... Marvoir (d) 9 novembre 2010 à 19:08 (CET)

Pour la démo par l'action c'est exactement à ça que je pensais (mais comme d'hab, je n'ai pas de source). Concernant Théorème de Lagrange sur les groupes (pour mémoire : diffs du 19 oct 2007 et 11 avr 2008, que tu connais), je trouve qu'il faut supprimer la preuve par action de groupe du (à laquelle je n'avais jamais fait attention), et réempiler les notions dans l'ordre de leur complexité (cf. infra). Et même la première preuve me semble de trop : il suffit de renvoyer à celle de Indice d'un sous-groupe, qui marche même dans le cas infini.

Réorganisons ?

Je propose de continuer ici la discussion, pour harmoniser 4 articles, quitte à le signaler dans la PdD des 3 autres, et dans celle de "Théorème de Lagrange sur les groupes" en vue d'y supprimer 1 ou 2 preuve(s) (cf. supra) :

1. Lemme des bergers
2. Indice d'un sous-groupe
3. Formule du produit (théorie des groupes)
4. Action de groupe (mathématiques)

• 1 donne 2 (à condition d'énoncer 1 aussi dans le cas infini)
• 2 surgit dans 4 (une fois qu'on a expliqué comment chaque orbite est équipotente à un ensemble quotient du groupe par un stabilisateur)
• 4 donne 3, ou alors (moins économique mais plus pédagogique) 2 donne 3 (comme tu fais dans la fin de ton PS)

Anne 9 novembre 2010 à 21:00 (CET)

Je suis d'accord avec ta proposition. Pour la "formule du produit", s'il fallait choisir une seule démonstration, je crois maintenant que je choisirais celle par l'action de groupe. Peut-être pourrait-on y joindre la démonstration (plus pédagogique, comme tu le notes) par l'application $H\times K\rightarrow HK:(h,k)\mapsto hk^{-1}$ ? Je crois, en tout cas, qu'on peut abandonner la démonstration par l'application $H\times K\rightarrow HK:(h,k)\mapsto hk$, que j'avais prise dans Rotman : elle est moins élégante et ne montre pas (dans le cas où $H\cap K$ est infini) que le cardinal de HK est égal à l'indice de D dans $H\times K$.

Je te laisse faire selon ton idée. Et merci pour cette jolie opération de groupe. Marvoir (d) 10 novembre 2010 à 08:46 (CET)

Dans le résumé de ta dernière modification, tu dis que tu hésites un peu par crainte d'enfreindre la prohibition du travail inédit. Voilà un cas où, à mon avis, respecter absolument la prohibition du travail inédit serait dommageable pour Wikipédia. Je suis sûr que n'importe quel membre du projet qui aurait un avis sur la question trouverait que la démonstration de Rotman n'est pas la meilleure possible et que celle que tu as indiquée (de même que celle que la tienne m'a suggérée) est plus satisfaisante. La validité de ta démonstration est très facile à vérifier, il n'y a donc aucun risque que ce soit une élucubration. Or la seule justification que je voie à la prohibition du travail inédit est d'empêcher les illuminés d'élucubrer sans contrôle. Donc il me semble que si les autres contributeurs sont d'accord, la prohibition du travail inédit ne devrait pas jouer ici. Je crois que je vais poser la question sur le Thé, par curiosité. Marvoir (d) 10 novembre 2010 à 11:14 (CET)

• J'étais (flattée que tu l'apprécies) toute fiérote de ma trouvaille, mais finalement je suis d'accord avec Claudeh5 que ce serait juste ce que j'appelle du "TI probablement sourcable", et que je pratique déjà, prudemment mais couramment, avec l'accord tacite du projet maths. Mais on ne peut autoriser ces entorses qu'au cas par cas (ce cas-ci n'est pas problématique), provisoirement (comme tout ici-bas, surtout sur WP), individuellement et officieusement (l'interdiction collective et officielle rend souvent service pour se débarasser d'ajouts indésirables sans s'épuiser dans un dialogue de sourds sur le fond).
• Certains s'étonnent parfois d'un ajout accompagné d'une demande de refs, prenant ça pour de l'autoflagellation. Pour moi, un modèle:refsou est l'expression non agressive d'un désir authentique, qu'on espère voir exaucé par d'autres, ce qui s'appliquerait ici.
• C'est surtout envers toi que j'avais des scrupules (à cause de l'actuelle démo, sourcée, elle).
• Et aussi envers la 2ème démo de Lagrange que je souhaite supprimer parce qu'elle pèche (dans une moindre mesure, tout de même ! ) par les mêmes défauts.
• Alors je propose, ici, de remplacer Rotman par la démo de ta fin de P.S., puis de signaler celle par l'action de groupe comme une abstraction de celle-là. Avec un refsou sur l'une et/ou l'autre. Et de signaler en note (pour pas jeter ta ref) la démo de Rotman.

Anne 10 novembre 2010 à 20:34 (CET)

Au cas où mon intervention sur le Thé aurait pu paraitre abrupte, je signale juste au passage que votre contribution commune ici me semble tout à fait dans les clous de Wikipédia, tant dans les discussions préalables que dans les choix rédactionnels. Mais il faut être clair sur le fait que cela n'est pas un relâchement de la consigne sur le travail inédit. (On a déjà assez de mal à contenir les élucubrations de contributeurs moins rigoureux, ne nous tirons pas une balle dans le pied.) Ambigraphe, le 11 novembre 2010 à 09:34 (CET)

La démonstration donnée par Rotman n'est pas très élégante (peut-être ma rédaction aggrave-t-elle les choses ?) mais on peut dire en sa faveur qu'elle ne suppose presque aucun bagage théorique, même pas la notion de groupe produit. Kurzweil et Stellmacher eux aussi (The Theory of Finite Groups, An Introduction, 2004, n° 1.1.6, p. 7) énoncent et démontrent (sans la nommer) la "formule du produit" avant de définir les groupes produits. (Leur démonstration revient à celle de Rotman.)

Quant à "ma" démonstration, elle se tire facilement de la tienne. La tienne repose sur le fait que l'orbite de l'élément 1 est équipotente à l'ensemble des classes à gauche de $H\times K$ suivant le stabilisateur de cet élément. Or le fait qu'une orbite Orb (dans une opération d'un groupe G) est équipotente à l'ensemble des classes à gauche modulo le stabilisateur de n'importe quel élément x de cette orbite se démontre par considération de l'application orbitale associée à x : $G\rightarrow Orb:g\mapsto gx$. "Ma" démonstration consiste à faire ce raisonnement sur l'orbitale associée à l'élément 1 dans l'opération de groupe que tu as signalée. "Ma" démonstration est ainsi à mi-chemin entre celle de Rotman et la tienne, au double point de vue de l'élégance et de l'élémentarité (pourquoi ce mot n'existerait-il pas ?) Il me semble donc qu'on peut laisser les choses comme elles sont maintenant : démonstration de Rotman et indication de la tienne, quitte à ajouter, si tu le souhaites, le modèle "Référence souhaitée" sur l'indication de ta démonstration. Le lecteur qui comprend l'opération de groupe sera capable d'en déduire "ma" démonstration. Marvoir (d) 11 novembre 2010 à 11:29 (CET)

Formule plus précise

$|HK|=[H:H\cap K]\cdot |K|$

(ce qui est plus précis en cas de cardinaux infinis) car la bijection

$H/(H\cap K)\to \{hK~|~h\in H\},x=h(H\cap K)\mapsto xK=hK$

montre qu'on a une partition de HK en [H:H∩K] parties équipotentes à K. Anne 2 octobre 2012 à 16:08 (CEST)

Cela me semble juste et, en effet, plus fort que la forme courante (mais moins symétrique). Je te suggère d'ajouter cette formule et sa démonstration, en notant que cette formule est plus forte. (Personnellement, j'aime bien avoir plusieurs démonstrations d'un même théorème.) Marvoir (d) 2 octobre 2012 à 17:12 (CEST)