Discussion:Factorisation des polynômes

Titre ?

Qu'est-ce que c'est que c'est article de factorisation ? Ce ne serait pas plutôt la décomposition en produit de polynômes irréductibles ? Oxyde (d) 24 janvier 2008 à 12:30 (CET)

Ce qui est une autre façon de désigner la même chose, non ? Salle (d) 24 janvier 2008 à 13:45 (CET)

dans un langage pas très rigoureux. Oxyde (d) 24 janvier 2008 à 14:15 (CET)

je m'explique le polynôme 1+X^2 se factorise en 1+X^2=1(1+X^2)

Oui mais non, imho. Disons que dans un article factorisation (que ce soit pour les entiers ou les polynômes, au demeurant), je m'attends à voir le théorème K[X] est factoriel, et les algorithmes, qu'on appelle effectivement algorithmes de factorisation, et pas algorithmes de décomposition en produit de facteurs irréductibles - ou du moins, je ne les ai jamais vus appelés comme ça. Du coup, vouloir titrer décomposition en produit de polynômes irréductibles réduit à mon sens le champ de l'article, de manière finalement assez artificielle. Evidemment, l'article est très loin de ce qu'il devra devenir. Salle (d) 24 janvier 2008 à 15:18 (CET)

D'accord, je ne savais que tu voulais parler des algorithmes. Encore des termes mal traduits de l'américain ces algorithmes de factorisation. Oxyde (d) 24 janvier 2008 à 17:17 (CET)

Factorisation des polynômes ou peut-on réussir le grand écart impossible

Titre

D'abord le titre : "factorisation" n'est pas conforme au contenu : "décomposition en produit de polynôme irréductible". Je suis d'accord pour dire avec Oxyde que 2x-4 = 2(x-2) est une factorisation de polynômes ce qui va rendre l'intro difficile à faire si elle doit parler en fait de décomposition en produit de polynômes irréductibles - Le contenu d'ailleurs s'attarde beaucoup sur polynôme irréductible ,c'est à dire sur les polynômes peu factorisable. Les interlangues d'ailleurs ne se trompent pas qui renvoient sur les polynômes irréductibles en allemand et en anglais

• Faut-il créer un article spécifique sur les polynômes irréductiobles ou mettre les propriétés les concernant dans cet article ?

Niveau de l'article

• Le blanchiment rageur de l'IP du 5 nov [1] montre que le lecteur attend autre chose de cet article mais peut-on faire cohabiter des recettes de factorisations élémentaires (identité remarquable, factorisation par x - a) et des algorithmes pointus (algorithme de Berlekam, ou de Van Hoeij ?
• Ne doit-on pas évoquer le fait que l'existence d'une factorisation ne permet pas de la trouver (le "ça ne marche pas toujours" de l'IP). Ce qui revient à évoquer le théorème d'Abel
• Doit-on se placer dans R, dans C, dans un corps quelconque? dans un corps fini ? dans un anneau quelconque, dans un anneau factoriel, dans l'anneau des polynômes à plusieurs variables ?

Propositon de plan

Puisqu'il s'agit de faire cohabiter toutes ses notions, je proposerais bien un plan progressif

O Introduction

Une introduction qui explique qu'un factorisation de polynômes consiste à écrire celui-ci comme produit de polynomes Que l'intérêt est porté sur les factorisations en produit de polynômes dont les degrés sont inférieurs au degré du polynôme de départ. Qu'un polynôme qui ne peut pas se factoriser sous cette forme est appelé irréductible. Qu'à condition de se placer dans C, dans R ou dans A factoriel, tout polynôme est ou bien irréductible, ou bien produit de polynômes irréductibles avec allusion à la propriété correspondantes dans les entiers relatifs. mais que la décomposition est loin d'être évidente

1. Factorisation dans R

Niveau élémentaire, factorisation par une constante, montrer qu'elle est toujours possible, définition des polynômes unitaires, identités remarquables, existence d'une factorisation par (x-a) si a est racine, impossibilité d'une factorisation dans R de polynôme du second degré dont le discriminant est négatif. Définition de polynômes irréductibles - propriétés que dans R les seuls polynômes irréductibles sont de degré 1 ou 2 (résultat admis en précisant que la démonstration demande de travailler sur des polynômes dans C) - Propriété admise que tout polynôme dans R se décompose de manière unique en produit d'un réel par des puissances de polynômes irréductibles unitaires - remarque que l'existence ne fournit pas la décomposition - autre exemple de factorisation plus complexe

2. factorisation dans C

Théorème fondamentale de l'algèbre - décomposition en puissance de polynôme de degré un - retour éventuel au polynômes irréductibles de R - Remarque que l'existence ne fournit pas la décomposition - allusion au théorème d'Abel sur l'impossibilité de trouver certaines racines par radicaux - Les méthodes de factorisation de spolynômes de degré inférieurs u égal à 4 sont connues - renvoi sur des méthodes de factorisation

3. Factorisation dans un anneau factoriel

Existence et unicité à un facteur unitaire près d'une décomposition dans un anneau factoriel - Exemple dans Z[X] - Contre-exemple dans Z6[X] de X²+X qui admet deux factorisations. Remarque que, puisque tout corps commutatif est un anneau factoriel, la décomposition existe dans K[X]- Exemple dans Q[X] de polynômes irréductiobles de degré > 2-

4. Factorisation d'un polynôme à plusieurs variables

Existence d'une factorisation ds A[X1,X2,X3,...Xn] par application successive de la règle : si A est factoriel alors A[X} es factoriel - exemple de factorisation de polynômes à plusieurs variables (?)

Qu'en pensez-vous ? HB (d) 25 janvier 2008 à 18:00 (CET)

J'en pense déjà que j'ai envie de participer à cet article. Il y a effectivement une jolie histoire à raconter, et je trouve que ce serait bien d'essayer de faire cohabiter des morceaux accessibles au lycée, et des choses plus avancées.

D'accord pour commencer par coefficients réels, puis complexes. Je verrais bien une seule section sur ça, si on arrive à trouver une formultion où les complexes n'arrivent qu'en seconde position, pour garder l'acessibilité. Il me semble qu'il faudrait au moins évoquer la factorisation numérique : méthode de Newton, et plus généralement tout ce qu'il y a dans [2], dont il faudra traduire ce qu'on n'a pas. En revanche, je ne m'attends pas vraiment à trouver le théorème d'Abel.

En partie 2, des théorèmes de structure en algèbre. Avec effectivement la factorialité, exemples et contre-exemples. Je ne sais pas comment les polynômes à plusieurs variables se comportent du point de vue algorithmique.

Et il faudrait parler d'algorithmes de factorisation en calcul formel (par opposition à l'analyse de la première partie). Ca commencerait dans les corps finis, puis remontée henselienne (donc dans Z_p), pour finir avec les coefficients rationnels. Le tout en essayant de ne pas être technique.

Voilà, Salle (d) 26 janvier 2008 à 12:50 (CET)

Pour information, je commence à travailler un peu au brouillon ici. Je ne sais pas jusqu'où j'irai cet après-midi, et je continuerai la semaine prochaine. Comme j'imagine que ta rédaction serait (sera ?) sensiblement différente, je serais (serai ?) curieux de la voir, et on pourra prendre les points forts des deux. Salle (d) 26 janvier 2008 à 14:07 (CET)

Bon j'ai commencé la refonte. Plusieurs questions se posent:

• doit-on noter l'indéterminée X ? mais cette notation est peu compatible avec les factorisations élémentaires; peut-on laisser x quitte à faire bondir les puristes des polynômes formels.
• Quelles sont les démonstrations qui doivent figurer dans l'article.
• Le lemme de Gauss et le critère d'Eisenstein sont vrais sur l'anneau Z mais je pense qu'ils sont vrais sur tout anneau factoriel, il faudrait vérifier et est-ce utile de le dire dans l'article
• La définition d'irréductible que je donne est "non décomposable en produit de polynôme supérieur à un" (ref J'intègre ) mais j'ai trouvé cette définition pour des polynômes à coefficent dans R pour lesquels cette défintion est équivalente à "non décomposable en produit de polynôme de degré inférieur à n". or les définitions ne sont pas équivalentes dans d'autres anneaux. Laquelle prendre. L'irréductibilité n'est-elle définie que pour des anneaux intègres?
• Tu tiens à présenter des algorithmes de factorisation mais je n'en connais pas, j'ai donc laissé un chapitre vide.

J'ai volontairement refusé d'aller regarder ta mouture pour aller jusqu'au bout de ma conception de l'article. Il reste donc un gros boulot de fusion entre ton brouillon et cet article. Je te laisse ce travail, quitte à venir en discuter ici. HB (d) 5 février 2008 à 18:21 (CET)

Bon, je ne crois pas qu'il y ait de boulot de fusion à faire. Ce que j'avais proposé était contenu dans ton texte, sous une forme juste légèrement différente, mais pas meilleure, je pense. J'ai corrigé quelques expressions qui me déplaisaient, et la remarque que la factorisation permet de déterminer le signe - c'est vrai, mais j'ai l'impression que ce n'est pas usuel : on peut déterminer le signe en évaluant, et Hörner fait ça très bien en temps raisonnable, alors que factoriser est plus difficile. Je peux me tromper bien sûr, et dans ce cas j'aimerais une référence.

Ensuite, j'ai proposé à mon tour un permier jet sur le côté algorithmique. Il me semble naturel d'inclure tout ce qui concerne l'approximation dans ce paragraphe. Si tu es d'accord, on transfèrera aussi ce que tu as dit et que j'ai mis de côté, notamment Sturm et Descartes.

Pour le paragraphe dans les anneaux généraux, je ne sais vraiment pas ce qu'on garde sans intégrité, j'essaierai de vérifier à l'occasion. Salle (d) 7 février 2008 à 13:58 (CET)

doute sur un résultat

Bonjour,

J'ai un sérieux doute sur le raisonnement suivant :

"Dans un anneau intègre, l'existence d'une décomposition d'un polynôme non constant en produit de polynômes irréductibles est une conséquence immédiate de la définition d'un polynôme irréductible. Une récurrence forte le prouve aisément : les polynômes de degré 1 sont irréductibles. On suppose que tout polynôme de degré strictement inférieur à n est irréductible ou décomposable en produit de polynômes irréductibles. Soit alors P un polynôme de degré n, il est soit irréductible soit décomposable en produit de deux polynômes de degré strictement inférieurs à n eux-mêmes produits de polynômes irréductibles."

Premièrement, pourquoi tout polynôme de degré 1 serait irréductible dans un anneau intègre quelconque ? Il me semble que P=2X n'est pas irréductible dans Z[X], mais pourtant il est de degré 1. La définition des polynômes irréductibles n'est pas clairement énoncée dans cet article. Ensuite, que faire des polynômes de degré zéro ? Il n'y a a priori aucune raison qu'ils soient décomposables en produit d'éléments irréductibles de A[X] si A n'est pas factoriel.

Merci d'avance de vos réponses.--Conditionouverte (d) 6 octobre 2011 à 18:22 (CEST)

Damned ! Superbe erreur ! Merci de l'avoir signalée. J'avais pris comme définition de polynôme irréductible  : est irréductible tout polynôme de degré supérieur ou égal à un que l'on ne peut pas écrire sous forme de produit de deux polynômes de degré supérieur ou égal à 1 (or cette définition n'est valable que pour les polynômes sur un corps j'ai HONTE, honte, honte...), il me semble qu'avec cette définition le raisonnement mis en place est valide. Seulement voilà.... ce n'est pas la bonne définition de polynôme irréductible et une âme charitable a gentiment corrigé la définition donnée sans se rendre compte que le raisonnement et la propriété qui utilisaient cette définition perdaient tout sens et validité. Avec la bonne définition de polynôme irréductible, il ne suffit pas que l'anneau soit intègre pour prouver l'existence d'une décomposition, il faut effectivement qu'il soit lui-même factoriel et la démonstration n'est pas aussi simple ==> supprimer tout le contenu de la section et indiquer seulement que, dans le cas des anneaux factoriels, l'anneau des polynômes est aussi factoriel et renvoyer sur l'article principal. j'ai fait assez de bêtises sur cet article et je préfèrerais que quelqu'un d'autre corrige....HB (d) 7 octobre 2011 à 08:12 (CEST)

C'est moi l'âme charitable mais inattentive. Hier j'avais (pour une fois) résisté à la tentation d'intervenir vite, vous laissant la priorité. Je vais essayer de continuer. Question liée (mais pour spécialistes, et moins urgente) : a-t-on, pour les anneaux vérifiant la condition sur les chaînes croissantes d'idéaux principaux (en) (c'est-à-dire si j'ai bien compris ceux où une factorisation en irréductibles existe, dont font partie à la fois les factoriels et les noethériens), la même chose que théorème de la base de Hilbert (si A noethérien alors A[X] aussi) et le théorème analogue pour A factoriel ? Anne Bauval (d) 7 octobre 2011 à 13:29 (CEST)

Question pour spécialiste à laquelle je ne sais pas répondre... Bon, j'ai enlevé mes bêtises. C'est une réparation d'urgence, il faudrait je pense un peu étoffer et vérifier que je n'ai pas commis d'imprécision. HB (d) 7 octobre 2011 à 21:58 (CEST)

Inutile d'avoir honte d'avoir fait cette erreur, en tous cas. Je ne l'ai pas vraiment vue au premier coup d'oeil, en plus... Et j'ai fait une bourde toute aussi grosse en parlant de polynômes irréductibles il y a deux jours ! La preuve du fait que A factoriel implique A[X] factoriel est par exemple très bien faite dans le livre de Josette Calais, éléments de théorie des anneaux p.136 aux éditions Ellipses. En fait c'est même équivalent dans le cas où A est intègre, parce que si A[X] est factoriel, les éléments de A, qu'on voit comme polynômes de degré 0, se décomposent en produit d'élements irréductibles de degré 0 dans A[X], qui sont des irréductibles de A. Lorsque A n'est plus intègre, pas mal de problèmes apparaissent : voir par exemple le cours d'algèbre de M1 de Grégory Berhuy, professeur à l'Université de Grenoble (le poly est sur sa page web). Conditionouverte (d) 15 octobre 2011 à 21:33 (CEST)

Une erreur ?

Il me semble que l'affirmation

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Ce même théorème de D'alembert Gauss permet aussi de prouver que tout polynôme P à coefficients réels possède une décomposition unique (à l'ordre près) de la forme suivante:

$P(x)=a_{n}(x-r_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (x-r_{k})^{\alpha _{k}}=a_{n}\prod _{i=1}^{k}p_{i}(x)^{\alpha _{i}}$

où les p_i sont des polynômes irréductibles unitaire (le coefficient du terme de plus haut degré est 1) de degré 2.

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est fausse. La décomposition proposée ne contient pas de polynomes d'ordre 2 ?

Merci du signalement, c'est réparé. Anne 4/9/14 23h19