Discussion:Espace vectoriel topologique

Application $\varphi$

Je ne me permets pas de modifier l'article étant donné que je débute en topologie, mais l'application $\varphi$ me paraît mal définie au départ : $\varphi$ serait "la projection canonique de F sur E". Pour moi il ne s'agit pas d'une projection mais de l'application qui à un élément de E fait correspondre sa classe d'équivalence E/F. C'est d'ailleurs comme ça que cette fonction est considérée par la suite. Pour référence, on peut se reporter à l'article "topologie quotient". La fonction $\varphi$ est l'application p de ce dernier article. signature récupérée depuis l'historique : Fabrej0 (d) 29 décembre 2009 à 19:50

Tout-à-fait ! je vais m'en occuper après dîner. Merci. Anne Bauval (d) 29 décembre 2009 à 20:50 (CET)

Continuité de l'addition sur E/F

Il y a peut-être un problème dans la démonstration de la continuité de l'addition définie sur E/F (l'addition sur E/F devrait d'ailleurs être définie). On dit un peu vite à la fin que $\sigma '=(+)^{-1}(\Omega )$ a pour image réciproque $\sigma$ par l'application continue $\varphi \times \varphi$ (point 1) et que c'est donc un ouvert (point 2). Le point 1 et le point 2 mériteraient d'être justifiés. Pour le point 2, on passe en effet à de la topologie produit de quotients et on n'a pas justifié qu'un ensemble de $E/F\times E/F$ était un ouvert si sa réciproque par une application continue était un ouvert... Pour le point 1, il s'agit sans doute de la définition de l'addition sur E/F mais comme on n'a pas de définition...

Je poursuis ma remarque avec la démo du point 1. On aura remarqué préalablement que l'addition de deux éléments quelconques de E faisant partie de deux classes données fournit un élément appartenant à une seule et même classe, ce qui prouve que l'on peut définir l'addition sur E/F. On aura également remarqué que l'image par l'addition de E d'éléments faisant partie de deux classes ENTIERES donne une classe ENTIERE. D'où la démo suivante :

Prenons le cas de l'addition. Montrer la continuité de l'addition de $E/F$ revient à montrer que l'image réciproque de tout ouvert est ouverte. Soit donc $\Omega$ un ouvert quelconque de E/F. Nous noterons f l'addition ($f_{E}$ ou $f_{E/F}$). L'image réciproque de $\Omega$ est appelée $\Sigma$. Par définition de l'addition sur E/F, $\Omega$ est obtenu à partir de $\Sigma$ de la façon suivante : tout d'abord il faut prendre l'image réciproque par $\varphi ^{-1}\times \varphi ^{-1}$ pour obtenir un ensemble $\sigma$ de $E\times E$, puis on prend l'image par $f_{E}$ ce qui donne l'ensemble $\omega$. Enfin, on prend l'image par $\varphi$. Comme $\sigma$ est constitué de classes entières, alors $\omega$ est constitué de classes entières, ce qui prouve que c'est l'image réciproque de $\Omega$. Comme $\varphi$ est continue, $\omega$ est ouvert. De plus, s'il existait un élément faisant partie de $f_{E}^{-1}(\omega )$ et pas de $\sigma$, alors cet élément ferait partie d'une classe différente et il existerait un élément de plus dans $\Sigma$. Ainsi, $\sigma$ est bien l'image réciproque de $\omega$ par $f_{E}$ qui est continue : $\sigma$ est un ouvert, ainsi que $\Sigma$. CQFD. --Fabrej0 (d) 2 janvier 2010 à 18:49 (CET)

E/F séparé ssi F est fermé

Merci Anne pour tes modifs, mais c'est pareil je pense : "par définition de la structure d'espace vectoriel quotient" n'est pas une démo...

En effet, mais "$(\varphi \circ +)^{-1}(W)$, par définition de la structure d'espace vectoriel quotient, est égal à $({\overline {+}}\circ (\varphi \times \varphi ))^{-1}(W)$" en est une (portion), je trouve. Si tu juges cela insuffisant, je te suggère de fournir une bibliographie plus accessible (c'est vrai que ce ne serait pas du luxe !) et/ou d'expliciter plutôt dans l'article espace vectoriel quotient le fait que $\varphi \circ +={\overline {+}}\circ (\varphi \times \varphi )$.

Je ne possède pas de bibliographie mais j'ai fourni une démo (ci-dessus), où il est important de montrer que les ensembles considérés dans E sont des réunions de classes. En effet, une image réciproque d'un ensemble A par la fonction $\varphi$ donne un ensemble de E qui est une réunion de classes.

Ceci dit, encore une coquille dans la suite a priori... F fermé est une condition nécessaire pour que E/F soit séparé. Mais le fait que F soit fermé n'implique pas E/F séparé.

Pas d'accord. Quelle faille trouves-tu dans la démo ? (la version antérieure au 15/12 était, justement, erronée)

Mes incompréhensions ici et plus bas peuvent être résumées dans le fait que je n'ai pas compris pourquoi $\varphi ^{-1}(\varphi (U))$ devait être un ouvert et pourquoi U+x devait être un ouvert. C'est peut-être basique mais là je ne vois pas. Si mon incompréhension est justifiée, il faut alors peut-être restreindre le cadre à une topologie particulière ? (métrique...) Bien sûr, je ne comprends pas non plus pourquoi la translation serait un homéomorphisme. D'où quand même l'utilité des démonstrations dans les articles Wiki. En plus, c'est pas lourd du tout avec la possibilité de "déplier" la démonstration. --Fabrej0 (d) 11 janvier 2010 à 21:21 (CET)

Merci Anne pour les précisions. Ca paraît bête mais c'est bien la continuité de la fonction qui à y associe (x,y) qui était au centre de mon problème de compréhension. Mais je trouve ça intéressant : disons que j'associe un peu vite la notion de continuité au fait que n'importe quel ouvert de l'ensemble d'arrivée ferait partie de l'image. On va essayer de couper cette connexion neuronique !--Fabrej0 (d) 14 janvier 2010 à 21:58 (CET)

De plus, E séparé pour des classes disjointes implique E/F séparé.

Je ne vois nulle part dans les bouquins de définition de "E séparé pour des classes disjointes", mais je suppose que "ta" définition (attention au TI ...) serait équivalente à F fermé.

J'admets que c'est une expression personnelle. Il s'agit simplement de la séparation de deux éléments quelconques appartenant à deux classes distinctes (ou disjointes).

Par contre, pas de réciproque non plus car si on prend deux voisinages Vx et Vy quelconques de E autour de x et y distincts, alors $\varphi (V_{x})$ et $\varphi (V_{y})$ ne sont pas forcément des voisinages dans E/F...

?? ben si, puisque $\varphi$ est ouverte ! Je suppose que ce n'est pas ça que tu voulais dire. Mais relis donc la démo, et dis-moi plutôt où tu trouves une erreur. Anne Bauval (d) 3 janvier 2010 à 14:38 (CET)

--Fabrej0 (d) 3 janvier 2010 à 10:55 (CET)

Séparation et singleton fermé

Quelques temps après... OK pour l'équivalence entre F fermé ssi le singleton 0 de E/F est fermé. On peut aussi montrer que E/F est séparé ssi 0 et X le sont avec X dans E/F. Par contre je ne crois pas que l'on puisse dire que si 0 est fermé alors 0 et X sont séparés : le fait que 0 soit fermé assure l'existence d'un voisinage de X ne contenant pas 0 mais n'assure pas l'existence de DEUX voisinages disjoints. Fabrej0 (d) 23 avril 2010 à 18:56 (CEST)

Pourtant c'est vrai. En cliquant sur les liens tu seras convaincu j'espère. Anne Bauval (d) 23 avril 2010 à 20:03 (CEST)