Combinaison (mathématiques)

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En mathématiques, lorsque nous choisissons k objets parmi n objets discernables (numérotés de 1 à n) et que l’ordre dans lequel les objets sont placés (ou énumérés) n’a pas d’importance, nous pouvons les représenter par un ensemble à k éléments. Les combinaisons servent donc, entre autres, en combinatoire. Par exemple, quand nous tirons simultanément plusieurs cartes dans un jeu de cartes, nous obtenons une main et la place des cartes dans la main n’importe pas ; ou au jeu du loto, le tirage final ne dépend pas de l’ordre d’apparition des boules obtenues.

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Les combinaisons de cet ensemble sont ses sous-ensembles (ou ses parties). Une k-combinaison de E (ou k-combinaison sans répétition de E, ou encore combinaison sans répétition de n éléments pris k à k) est une partie à k éléments de E.

Nous notons \mathcal P_k(E) l’ensemble des k-combinaisons de E.

L’ensemble \mathcal P_k(E) des combinaisons à k éléments de E est fini et son cardinal est le coefficient binomial {n \choose k} (lu « k parmi n » ), encore noté parfois C_n^k\, (lu « combinaison de k parmi n »), la première notation étant préconisée par la norme ISO 31-11, et C_n^k=\tfrac{A_n^k}{k!}, où A_n^k est le nombre de k-arrangements de E et k! est la factorielle de k.

Avec la formule pour A_n^k on obtient C_n^k=\frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k!}, qui pour kn peut aussi s'écrire : C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Démonstration par récurrence[modifier | modifier le code]

  • Si k = 0 alors il n’y a qu’une seule partie à 0 élément, l’ensemble vide, donc \mathcal P_0(E)=\{\varnothing\}. Mais A_n^0=1 et 0! = 1, d’où l’égalité.
  • Si k > n alors il n’existe pas de partie à k éléments dans un ensemble à n éléments, donc \mathcal P_k(E)=\varnothing et comme A_n^k=0, la formule est vérifiée.
  • Si 1 ≤ kn alors nous définissons sur l’ensemble des arrangements sans répétitions de E (ou des k-listes distinctes de E) une relation d’équivalence :

Deux arrangements sont équivalents, s’il existe une permutation à k éléments qui envoie l’un sur l’autre.

Deux arrangements sont alors équivalents si et seulement s’ils correspondent à la même partie à k éléments de E. Une classe d’équivalence est alors une combinaison et il y a autant de classes que de combinaisons. Mais chaque classe contient k! arrangements qui sont en relation ; d’après la réciproque du lemme des bergers il y a donc \tfrac{A_n^k}{k !} classes ou combinaisons.

Calcul du nombre de combinaisons[modifier | modifier le code]

Un algorithme efficace[1] pour calculer le nombre de combinaisons de k éléments parmi n, utilise les identités suivantes (0 ≤ kn) :

\binom n k = \binom n{n-k},         \binom{n+1}{k+1} = \frac{(n+1)}{(k+1)}\binom n k     et     \binom n 0 = 1

La première permet de réduire le nombre d'opérations à effectuer en se ramenant à kn/2. Les deux suivantes permettent de montrer que :


\binom n k = \frac{(n-k+1)}{1}\cdot\frac{(n-k+2)}{2}\cdot \cdots \cdot \frac{n}{k}

À chaque étape de calcul on effectue d'abord la multiplication puis la division pour obtenir un nombre entier (c'est un coefficient binomial), c'est-à-dire que l'on peut employer la division entière. Les calculs intermédiaires restent d'un ordre de grandeur voisin du résultat final (ce ne serait pas le cas si par exemple on utilisait la première formule et la fonction factorielle).

Le calcul peut s'effectuer par une simple boucle itérative (boucle for).

Exemple en pratique d'un calcul de combinaisons :


\binom 5 4 = \frac{5!}{4!\times (5-4)!} = \frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1\times (5-4)!}=\frac{5}{1!}=5

On voit que la division des factorielles de 5 et de 4 ont été directement simplifiées :


\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1}  \mbox{ devient }  5

Énumération des combinaisons[modifier | modifier le code]

Soient A un ensemble à n éléments, a un objet qui n'est pas dans A, et k un entier naturel. Alors on montre facilement l'identité :


\mathcal P_{k+1}(A\cup\{a\})=\mathcal P_{k+1}(A)\cup\left\{X\cup\{a\}\mid X\in\mathcal P_k(A)\right\}
        (\mathcal P_{k}(A)=\varnothing si k > n)

(cette identité est connue pour avoir pour conséquence directe la formule de récurrence permettant de construire le triangle de Pascal : 
\tbinom{n+1}{k+1}=\tbinom{n}{k+1}+\tbinom{n}{k}
). Cette identité peut être exploitée pour un algorithme énumérant les combinaisons, par exemple des n premiers entiers.

Exemples

Soit A l'ensemble de 5 éléments A = {a, b, c , d, e}.

  • Les combinaisons de 3 éléments choisis parmi les 5 éléments de A sont :
    • celles qui contiennent a et deux autres éléments : {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}
    • celles qui contiennent trois éléments distincts de a : {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}
      soit{5\choose3}={4\choose2}+{4\choose3}=6+4=10.
  • De même, les combinaisons de 2 éléments parmi les 5 sont :
    • celles qui contiennent deux éléments distincts de a
    • celles qui contiennent a et un autre élément
      (ce sont en fait les complémentaires des combinaisons précédentes) soit{5\choose2}={4\choose2}+{4\choose1}=6+4=10.

Note[modifier | modifier le code]

  1. C'est par exemple celui utilisé par la bibliothèque de programmes de calcul arithmétique en précision arbitraire GMP, voir (en) Binomial coefficients algorithm.

Articles connexes[modifier | modifier le code]