B-spline

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B-spline.

En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines positives à support compact minimal. Les B-splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donné m+1 nœuds ti dans [0, 1] avec une courbe spline de degré est une courbe paramétrique composée de fonctions B-splines de degré n , où les Pi forment un polygone appelé polygone de contrôle ; le nombre de points composant ce polygone est égal à m-n.

Les m-n fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence sur le degré inférieur :

Quand les nœuds sont équidistants, c’est-à-dire quand ils sont en progression arithmétique, les B-splines sont dites « uniformes » : c'est le cas des courbes de Bézier qui sont des B-splines uniformes, dont les nœuds ti (pour i entre 0 et m) forment une suite arithmétique de 0 à 1 avec un pas constant 1/m, et où le degré n de la courbe de Bézier ne peut être supérieur à m).

Par extension, lorsque deux nœuds successifs et sont confondus, on pose  : cela a pour effet de définir une discontinuité de la tangente, pour le point de la courbe paramétré par une valeur de t, donc d'y créer un sommet d'angle non plat ; toutefois il est souvent plus simple de définir ce « B-spline étendu » comme l'union de deux B-splines définis avec des nœuds distincts, ces splines étant simplement joints par ce sommet commun, sans introduire de difficulté dans l'évaluation paramétrique ci-dessus des B-splines pour certaines valeurs du paramètre t. Mais cela permet de considérer alors tout polygone simple comme un B-spline étendu.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.

La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.

Une B-spline de degré n est non nulle dans l'intervalle [ti, ti+n+1] :

En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.

B-splines en une dimension[modifier | modifier le code]

Les B-splines peuvent être utilisées comme fonctions de base dans la théorie de l'approximation. La B-spline de degré n est donnée par : ,(y)+ est une version étendue de la fonction partie positive :

On reconnaît notamment la spline de degré 0 comme la fonction porte.

Ces fonctions ne sont pas interpolantes, mais leur régularité élevée sur un support compact en font des candidats intéressants dans l'approximation de fonctions[1].

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) P. Thevenaz, T. Blu et M. Unser, « Interpolation revisited », IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 19, no 7,‎ (DOI 10.1109/42.875199)

Liens internes[modifier | modifier le code]

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